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 Título da Pergunta: Sequências algébricas em R3 .
MensagemEnviado: 08 jan 2018, 18:11 
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Considere em R3 as sequências B1 = ((1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1)) e B2 = ((1, 0, 1), (1, 0, 1), (0, 1, 0)).

Mostre que as sequências B1 e B2 são bases de R3


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MensagemEnviado: 09 jan 2018, 18:43 
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mxpxman,
para mostrar são necessários 2 procedimentos:
1) verificar se são geradores de , através da determinação dos escalares :
na sequencia :

determinando os escalares:

como foi possível determinar os escalares, então,
os vetores de geram

na sequencia :

determinando os escalares:

como NÃO foi possível determinar os escalares, então,
os vetores de NÃO geram

2) verificar se são LI, a partir da discussão do sistema. Será LI se o sistema for Possível e Determinado:
" se a única combinação linear da sequência for igual ao vetor nulo, então, dizemos que a sequência é Linearmente Independente (LI)"

na sequencia :

como o sistema admite a solução trivial (0,0,0), o sistema é Possível e Determinado, logo, os vetores são LI.

na sequencia :

como o sistema admite a solução trivial (0,0,0), o sistema é Possível e Determinado, logo, os vetores são LI.

Conclusão final:
somente, os vetores da sequencia formam base do espaço , tendo em vista que gera e é LI.
é LI porém, não gera .

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MensagemEnviado: 11 jan 2018, 13:14 
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Tenho aqui um muito parecido mas com coordenadas diferentes, agradeço muito a ajuda no primeiro exemplo

Considere em R3 as sequências B1 = ((1, 1, 0), (-1, 0, 1), (1, 1, 1)) e B2 = ((1, 0, 1), (-1, 0, 1), (0, 1, 0)).

Mostre que as sequências B1 e B2 são bases de R3


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MensagemEnviado: 11 jan 2018, 14:50 
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mxpxman,
o procedimento é o mesmo, é só seguir que você consegue, caso não consiga, eu te ajudo, ok!

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MensagemEnviado: 12 jan 2018, 13:23 
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Eu tentei, mas baralhei-me nas contas creio eu, pode ajudar por favor? Agradecia imenso.
Tenho de estudar melhor esta parte da matéria.

Obrigado.


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MensagemEnviado: 13 jan 2018, 12:42 
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ok, mxpxman,
vamos lá:
1) verificar se são geradores de , através da determinação dos escalares :
na sequencia :

determinando os escalares:

como foi possível determinar os escalares, então,
os vetores de geram

na sequencia :

determinando os escalares:

como foi possível determinar os escalares, então,
os vetores de geram

2) verificar se são LI, a partir da discussão do sistema. Será LI se o sistema for Possível e Determinado:
" se a única combinação linear da sequência for igual ao vetor nulo, então, dizemos que a sequência é Linearmente Independente (LI)"

na sequencia :

como o sistema admite a solução trivial (0,0,0), o sistema é Possível e Determinado, logo, os vetores são LI.

na sequencia :

como o sistema admite a solução trivial (0,0,0), o sistema é Possível e Determinado, logo, os vetores são LI.

Conclusão final:
os vetores da sequencia e formam base do espaço , tendo em vista que geram e são LI.

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MensagemEnviado: 13 jan 2018, 12:47 
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Muito obrigado, agora percebi perfeitamente tudo o que fez, agradeço muito a demonstração.


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MensagemEnviado: 13 jan 2018, 12:51 
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Só uma pergunta rápida se puder:

Seja A ∈ Mnxn (R)

Então a soma de dois vetores próprios de A ainda é um vetor próprio.

Esta afirmação é verdadeira ou falsa?

Eu creio que é falsa porque para a soma de 2 vetores próprios ser também um vetor próprio a matriz tem de ser diagonizavel, mas nem todas as matrizes são diagonizaveis.

Só preciso demonstrar, mais uma vez obrigado por tudo.


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MensagemEnviado: 13 jan 2018, 14:31 
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mxpxman,
Partindo da idéia de que:
seja um espaço vetorial
e
um subespaço de ,

vamos analisar:
1º só existem 2 SUBESPAÇOS IMPRÓPRIOS (subespaços triviais):

- o próprio espaço vetorial
- e o subespaço nulo ou vazio não pertencente a .

2º todo espaço vetorial contém o vetor nulo.

conclusão:
e
entao,

ou melhor,
a soma dos vetores continuará sendo PRÓPRIO
pois, se,


a partir desta conclusão, podemos dizer que:
o conjunto da soma de todos os vetores próprios de , inclusive o vetor nulo, associados a um valor próprio, também, é um subespaço vetorial de .

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MensagemEnviado: 13 jan 2018, 19:55 
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Ou seja, a afirmação é falsa porque não está completa, pois os vetores próprios têm de estar associados a um valor próprio.

A frase, tal como está escrita não corresponde à verdade, pois não contém toda a informação para provar que a soma de 2 vetores próprios é ela também um vetor próprio, certo?


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