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Sequências algébricas em R3 . https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=73&t=13555 |
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Autor: | mxpxman [ 08 jan 2018, 18:11 ] |
Título da Pergunta: | Sequências algébricas em R3 . |
Considere em R3 as sequências B1 = ((1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1)) e B2 = ((1, 0, 1), (1, 0, 1), (0, 1, 0)). Mostre que as sequências B1 e B2 são bases de R3 |
Autor: | jorgeluis [ 09 jan 2018, 18:43 ] |
Título da Pergunta: | Re: Sequências algébricas em R3 . |
mxpxman, para mostrar são necessários 2 procedimentos: 1) verificar se são geradores de \(R^3\), através da determinação dos escalares \(a,b,c\): na sequencia \(B_1\): \((x,y,z)=a(1,1,0)+b(1,0,1)+c(1,1,1) x=a+b+c y=a+0+c z=0+b+c\) determinando os escalares: \(a=x-z b=x-y c=-x+y+z\) como foi possível determinar os escalares, então, os vetores de \(B_1\) geram \(R^3\) na sequencia \(B_2\): \((x,y,z)=a(1,0,1)+b(1,0,1)+c(0,1,0) x=a+b+0 y=0+0+c z=a+b+0\) determinando os escalares: \(a=x-b b=z-a c=y\) como NÃO foi possível determinar os escalares, então, os vetores de \(B_2\) NÃO geram \(R^3\) 2) verificar se são LI, a partir da discussão do sistema. Será LI se o sistema for Possível e Determinado: " se a única combinação linear da sequência for igual ao vetor nulo, então, dizemos que a sequência é Linearmente Independente (LI)" na sequencia \(B_1\): \(a(1,1,0)+b(1,0,1)+c(1,1,1)=(0,0,0) a+b+c={0} a+0+c={0} 0+b+c={0} a={0} b={0} c={0} logo, a(1,1,0)+b(1,0,1)+c(1,1,1)=(0,0,0)\) como o sistema admite a solução trivial (0,0,0), o sistema é Possível e Determinado, logo, os vetores são LI. na sequencia \(B_2\): \(a(1,0,1)+b(1,0,1)+c(0,1,0)=(0,0,0) a+b+0={0} 0+0+c={0} a+b+0={0} a={-b} c=0 logo, a(1,0,1)+b(1,0,1)+c(0,1,0)=(0,0,0)\) como o sistema admite a solução trivial (0,0,0), o sistema é Possível e Determinado, logo, os vetores são LI. Conclusão final: somente, os vetores da sequencia \(B_1\) formam base do espaço \(R^3\), tendo em vista que gera \(R^3\)e é LI. \(B_2\) é LI porém, não gera \(R^3\). |
Autor: | mxpxman [ 11 jan 2018, 13:14 ] |
Título da Pergunta: | Re: Sequências algébricas em R3 . |
Tenho aqui um muito parecido mas com coordenadas diferentes, agradeço muito a ajuda no primeiro exemplo Considere em R3 as sequências B1 = ((1, 1, 0), (-1, 0, 1), (1, 1, 1)) e B2 = ((1, 0, 1), (-1, 0, 1), (0, 1, 0)). Mostre que as sequências B1 e B2 são bases de R3 |
Autor: | jorgeluis [ 11 jan 2018, 14:50 ] |
Título da Pergunta: | Re: Sequências algébricas em R3 . |
mxpxman, o procedimento é o mesmo, é só seguir que você consegue, caso não consiga, eu te ajudo, ok! |
Autor: | mxpxman [ 12 jan 2018, 13:23 ] |
Título da Pergunta: | Re: Sequências algébricas em R3 . |
Eu tentei, mas baralhei-me nas contas creio eu, pode ajudar por favor? Agradecia imenso. Tenho de estudar melhor esta parte da matéria. Obrigado. |
Autor: | jorgeluis [ 13 jan 2018, 12:42 ] |
Título da Pergunta: | Re: Sequências algébricas em R3 . |
ok, mxpxman, vamos lá: 1) verificar se são geradores de \(R^3\), através da determinação dos escalares \(a,b,c\): na sequencia \(B_1\): \((x,y,z)=a(1,1,0)+b(-1,0,1)+c(1,1,1) x=a-b+c y=a+0+c z=0+b+c\) determinando os escalares: \(a=-x+2y-z b=-x+y c=x-y+z\) como foi possível determinar os escalares, então, os vetores de \(B_1\) geram \(R^3\) na sequencia \(B_2\): \((x,y,z)=a(1,0,1)+b(-1,0,1)+c(0,1,0) x=a-b+0 y=0+0+c z=a+b+0\) determinando os escalares: \(a=\frac{x+z}{2} b=\frac{-x+z}{2} c=y\) como foi possível determinar os escalares, então, os vetores de \(B_2\) geram \(R^3\) 2) verificar se são LI, a partir da discussão do sistema. Será LI se o sistema for Possível e Determinado: " se a única combinação linear da sequência for igual ao vetor nulo, então, dizemos que a sequência é Linearmente Independente (LI)" na sequencia \(B_1\): \(a(1,1,0)+b(-1,0,1)+c(1,1,1)=(0,0,0) a-b+c={0} a+0+c={0} 0+b+c={0} a={0} b={0} c={0} logo, a(1,1,0)+b(-1,0,1)+c(1,1,1)=(0,0,0)\) como o sistema admite a solução trivial (0,0,0), o sistema é Possível e Determinado, logo, os vetores são LI. na sequencia \(B_2\): \(a(1,0,1)+b(-1,0,1)+c(0,1,0)=(0,0,0) a-b+0={0} 0+0+c={0} a+b+0={0} a={0} b={0} c={0} logo, a(1,0,1)+b(1,0,1)+c(0,1,0)=(0,0,0)\) como o sistema admite a solução trivial (0,0,0), o sistema é Possível e Determinado, logo, os vetores são LI. Conclusão final: os vetores da sequencia \(B_1\) e \(B_2\) formam base do espaço \(R^3\), tendo em vista que geram \(R^3\) e são LI. |
Autor: | mxpxman [ 13 jan 2018, 12:47 ] |
Título da Pergunta: | Re: Sequências algébricas em R3 . |
Muito obrigado, agora percebi perfeitamente tudo o que fez, agradeço muito a demonstração. |
Autor: | mxpxman [ 13 jan 2018, 12:51 ] |
Título da Pergunta: | Re: Sequências algébricas em R3 . |
Só uma pergunta rápida se puder: Seja A ∈ Mnxn (R) Então a soma de dois vetores próprios de A ainda é um vetor próprio. Esta afirmação é verdadeira ou falsa? Eu creio que é falsa porque para a soma de 2 vetores próprios ser também um vetor próprio a matriz tem de ser diagonizavel, mas nem todas as matrizes são diagonizaveis. Só preciso demonstrar, mais uma vez obrigado por tudo. |
Autor: | jorgeluis [ 13 jan 2018, 14:31 ] |
Título da Pergunta: | Re: Sequências algébricas em R3 . |
mxpxman, Partindo da idéia de que: \(M\) seja um espaço vetorial e \(A\) um subespaço de \(M\), vamos analisar: 1º só existem 2 SUBESPAÇOS IMPRÓPRIOS (subespaços triviais): - o próprio espaço vetorial \(M\) - e o subespaço nulo ou vazio não pertencente a \(M\). 2º todo espaço vetorial contém o vetor nulo. conclusão: \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\) \(\in A\) entao, \(\vec{u}+\vec{v} \in A \forall \vec{u},\vec{v}\) ou melhor, a soma dos vetores continuará sendo PRÓPRIO pois, se, \(A.\vec{u}=\lambda.\vec{u} e A.\vec{v}=\lambda.\vec{v} entao, A.(\vec{u}+\vec{v})=\lambda.(\vec{u}+\vec{v})\) a partir desta conclusão, podemos dizer que: o conjunto da soma de todos os vetores próprios de \(A\), inclusive o vetor nulo, associados a um valor próprio, também, é um subespaço vetorial de \(M\). |
Autor: | mxpxman [ 13 jan 2018, 19:55 ] |
Título da Pergunta: | Re: Sequências algébricas em R3 . |
Ou seja, a afirmação é falsa porque não está completa, pois os vetores próprios têm de estar associados a um valor próprio. A frase, tal como está escrita não corresponde à verdade, pois não contém toda a informação para provar que a soma de 2 vetores próprios é ela também um vetor próprio, certo? |
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