Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Um Fórum em Português dedicado à Matemática
Data/Hora: 15 abr 2021, 15:12

Os Horários são TMG [ DST ]




Fazer Nova Pergunta Responder a este Tópico  [ 14 mensagens ]  Ir para página 1, 2  Próximo
Autor Mensagem
 Título da Pergunta: Sequências algébricas em R3 .
MensagemEnviado: 08 jan 2018, 18:11 
Offline

Registado: 08 jan 2018, 17:48
Mensagens: 10
Localização: Portugal
Agradeceu: 4 vezes
Foi agradecido: 0 vez(es)
Considere em R3 as sequências B1 = ((1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1)) e B2 = ((1, 0, 1), (1, 0, 1), (0, 1, 0)).

Mostre que as sequências B1 e B2 são bases de R3


Topo
 Perfil  
 
MensagemEnviado: 09 jan 2018, 18:43 
Offline

Registado: 19 Oct 2015, 13:34
Mensagens: 929
Localização: Rio de Janeiro
Agradeceu: 9 vezes
Foi agradecido: 274 vezes
mxpxman,
para mostrar são necessários 2 procedimentos:
1) verificar se são geradores de \(R^3\), através da determinação dos escalares \(a,b,c\):
na sequencia \(B_1\):
\((x,y,z)=a(1,1,0)+b(1,0,1)+c(1,1,1)
x=a+b+c
y=a+0+c
z=0+b+c\)
determinando os escalares:
\(a=x-z
b=x-y
c=-x+y+z\)
como foi possível determinar os escalares, então,
os vetores de \(B_1\) geram \(R^3\)

na sequencia \(B_2\):
\((x,y,z)=a(1,0,1)+b(1,0,1)+c(0,1,0)
x=a+b+0
y=0+0+c
z=a+b+0\)
determinando os escalares:
\(a=x-b
b=z-a
c=y\)
como NÃO foi possível determinar os escalares, então,
os vetores de \(B_2\) NÃO geram \(R^3\)

2) verificar se são LI, a partir da discussão do sistema. Será LI se o sistema for Possível e Determinado:
" se a única combinação linear da sequência for igual ao vetor nulo, então, dizemos que a sequência é Linearmente Independente (LI)"

na sequencia \(B_1\):
\(a(1,1,0)+b(1,0,1)+c(1,1,1)=(0,0,0)
a+b+c={0}
a+0+c={0}
0+b+c={0}
a={0}
b={0}
c={0}
logo,
a(1,1,0)+b(1,0,1)+c(1,1,1)=(0,0,0)\)
como o sistema admite a solução trivial (0,0,0), o sistema é Possível e Determinado, logo, os vetores são LI.

na sequencia \(B_2\):
\(a(1,0,1)+b(1,0,1)+c(0,1,0)=(0,0,0)
a+b+0={0}
0+0+c={0}
a+b+0={0}
a={-b}
c=0
logo,
a(1,0,1)+b(1,0,1)+c(0,1,0)=(0,0,0)\)
como o sistema admite a solução trivial (0,0,0), o sistema é Possível e Determinado, logo, os vetores são LI.

Conclusão final:
somente, os vetores da sequencia \(B_1\) formam base do espaço \(R^3\), tendo em vista que gera \(R^3\)e é LI.
\(B_2\) é LI porém, não gera \(R^3\).

_________________
Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.


Topo
 Perfil  
 
MensagemEnviado: 11 jan 2018, 13:14 
Offline

Registado: 08 jan 2018, 17:48
Mensagens: 10
Localização: Portugal
Agradeceu: 4 vezes
Foi agradecido: 0 vez(es)
Tenho aqui um muito parecido mas com coordenadas diferentes, agradeço muito a ajuda no primeiro exemplo

Considere em R3 as sequências B1 = ((1, 1, 0), (-1, 0, 1), (1, 1, 1)) e B2 = ((1, 0, 1), (-1, 0, 1), (0, 1, 0)).

Mostre que as sequências B1 e B2 são bases de R3


Topo
 Perfil  
 
MensagemEnviado: 11 jan 2018, 14:50 
Offline

Registado: 19 Oct 2015, 13:34
Mensagens: 929
Localização: Rio de Janeiro
Agradeceu: 9 vezes
Foi agradecido: 274 vezes
mxpxman,
o procedimento é o mesmo, é só seguir que você consegue, caso não consiga, eu te ajudo, ok!

_________________
Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.


Topo
 Perfil  
 
MensagemEnviado: 12 jan 2018, 13:23 
Offline

Registado: 08 jan 2018, 17:48
Mensagens: 10
Localização: Portugal
Agradeceu: 4 vezes
Foi agradecido: 0 vez(es)
Eu tentei, mas baralhei-me nas contas creio eu, pode ajudar por favor? Agradecia imenso.
Tenho de estudar melhor esta parte da matéria.

Obrigado.


Topo
 Perfil  
 
MensagemEnviado: 13 jan 2018, 12:42 
Offline

Registado: 19 Oct 2015, 13:34
Mensagens: 929
Localização: Rio de Janeiro
Agradeceu: 9 vezes
Foi agradecido: 274 vezes
ok, mxpxman,
vamos lá:
1) verificar se são geradores de \(R^3\), através da determinação dos escalares \(a,b,c\):
na sequencia \(B_1\):
\((x,y,z)=a(1,1,0)+b(-1,0,1)+c(1,1,1)
x=a-b+c
y=a+0+c
z=0+b+c\)
determinando os escalares:
\(a=-x+2y-z
b=-x+y
c=x-y+z\)
como foi possível determinar os escalares, então,
os vetores de \(B_1\) geram \(R^3\)

na sequencia \(B_2\):
\((x,y,z)=a(1,0,1)+b(-1,0,1)+c(0,1,0)
x=a-b+0
y=0+0+c
z=a+b+0\)
determinando os escalares:
\(a=\frac{x+z}{2}
b=\frac{-x+z}{2}
c=y\)
como foi possível determinar os escalares, então,
os vetores de \(B_2\) geram \(R^3\)

2) verificar se são LI, a partir da discussão do sistema. Será LI se o sistema for Possível e Determinado:
" se a única combinação linear da sequência for igual ao vetor nulo, então, dizemos que a sequência é Linearmente Independente (LI)"

na sequencia \(B_1\):
\(a(1,1,0)+b(-1,0,1)+c(1,1,1)=(0,0,0)
a-b+c={0}
a+0+c={0}
0+b+c={0}
a={0}
b={0}
c={0}
logo,
a(1,1,0)+b(-1,0,1)+c(1,1,1)=(0,0,0)\)
como o sistema admite a solução trivial (0,0,0), o sistema é Possível e Determinado, logo, os vetores são LI.

na sequencia \(B_2\):
\(a(1,0,1)+b(-1,0,1)+c(0,1,0)=(0,0,0)
a-b+0={0}
0+0+c={0}
a+b+0={0}
a={0}
b={0}
c={0}
logo,
a(1,0,1)+b(1,0,1)+c(0,1,0)=(0,0,0)\)
como o sistema admite a solução trivial (0,0,0), o sistema é Possível e Determinado, logo, os vetores são LI.

Conclusão final:
os vetores da sequencia \(B_1\) e \(B_2\) formam base do espaço \(R^3\), tendo em vista que geram \(R^3\) e são LI.

_________________
Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.


Topo
 Perfil  
 
MensagemEnviado: 13 jan 2018, 12:47 
Offline

Registado: 08 jan 2018, 17:48
Mensagens: 10
Localização: Portugal
Agradeceu: 4 vezes
Foi agradecido: 0 vez(es)
Muito obrigado, agora percebi perfeitamente tudo o que fez, agradeço muito a demonstração.


Topo
 Perfil  
 
MensagemEnviado: 13 jan 2018, 12:51 
Offline

Registado: 08 jan 2018, 17:48
Mensagens: 10
Localização: Portugal
Agradeceu: 4 vezes
Foi agradecido: 0 vez(es)
Só uma pergunta rápida se puder:

Seja A ∈ Mnxn (R)

Então a soma de dois vetores próprios de A ainda é um vetor próprio.

Esta afirmação é verdadeira ou falsa?

Eu creio que é falsa porque para a soma de 2 vetores próprios ser também um vetor próprio a matriz tem de ser diagonizavel, mas nem todas as matrizes são diagonizaveis.

Só preciso demonstrar, mais uma vez obrigado por tudo.


Topo
 Perfil  
 
MensagemEnviado: 13 jan 2018, 14:31 
Offline

Registado: 19 Oct 2015, 13:34
Mensagens: 929
Localização: Rio de Janeiro
Agradeceu: 9 vezes
Foi agradecido: 274 vezes
mxpxman,
Partindo da idéia de que:
\(M\) seja um espaço vetorial
e
\(A\) um subespaço de \(M\),

vamos analisar:
1º só existem 2 SUBESPAÇOS IMPRÓPRIOS (subespaços triviais):

- o próprio espaço vetorial \(M\)
- e o subespaço nulo ou vazio não pertencente a \(M\).

2º todo espaço vetorial contém o vetor nulo.

conclusão:
\(\vec{u}\) e \(\vec{v}\) \(\in A\)
entao,
\(\vec{u}+\vec{v} \in A \forall \vec{u},\vec{v}\)
ou melhor,
a soma dos vetores continuará sendo PRÓPRIO
pois, se,
\(A.\vec{u}=\lambda.\vec{u}
e
A.\vec{v}=\lambda.\vec{v}
entao,
A.(\vec{u}+\vec{v})=\lambda.(\vec{u}+\vec{v})\)

a partir desta conclusão, podemos dizer que:
o conjunto da soma de todos os vetores próprios de \(A\), inclusive o vetor nulo, associados a um valor próprio, também, é um subespaço vetorial de \(M\).

_________________
Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.


Topo
 Perfil  
 
MensagemEnviado: 13 jan 2018, 19:55 
Offline

Registado: 08 jan 2018, 17:48
Mensagens: 10
Localização: Portugal
Agradeceu: 4 vezes
Foi agradecido: 0 vez(es)
Ou seja, a afirmação é falsa porque não está completa, pois os vetores próprios têm de estar associados a um valor próprio.

A frase, tal como está escrita não corresponde à verdade, pois não contém toda a informação para provar que a soma de 2 vetores próprios é ela também um vetor próprio, certo?


Topo
 Perfil  
 
Mostrar mensagens anteriores:  Ordenar por  
Fazer Nova Pergunta Responder a este Tópico  [ 14 mensagens ]  Ir para página 1, 2  Próximo

Os Horários são TMG [ DST ]


Quem está ligado:

Utilizadores a ver este Fórum: Nenhum utilizador registado e 2 visitantes


Criar perguntas: Proibído
Responder a perguntas: Proibído
Editar Mensagens: Proibído
Apagar Mensagens: Proibído
Enviar anexos: Proibído

Pesquisar por:
Ir para: