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MensagemEnviado: 14 jan 2018, 10:49 
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mxpxman,
a frase é verdadeira, pois, todo vetor próprio não nulo está associado a um valor próprio
vejamos:
\(A.\vec{u}=\lambda.\vec{u}
\begin{bmatrix}
2 & 1\\
0 & 2
\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}
3\\
0
\end{bmatrix}=2\begin{bmatrix}
3\\
0
\end{bmatrix}\)

\(A.\vec{v}=\lambda.\vec{v}
\begin{bmatrix}
2 & 1\\
0 & 2
\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}
1\\
0
\end{bmatrix}=2\begin{bmatrix}
1\\
0
\end{bmatrix}\)

\(A.(\vec{u}+\vec{v})=\lambda.(\vec{u}+\vec{v})
\begin{bmatrix}
2 & 1\\
0 & 2
\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}
4\\
0
\end{bmatrix}=2\begin{bmatrix}
4\\
0
\end{bmatrix}\)

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Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
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MensagemEnviado: 14 jan 2018, 13:35 
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Sim, agora já consegui perceber tudo, agradeço mesmo muito a sua ajuda, última questão se tiver paciência para responder, pois já ajudou muito.

Anexo:
matrizz.jpg
matrizz.jpg [ 34.84 KiB | Visualizado 365 vezes ]


Consigo estou a perceber mais do que o que estudei no livro que tenho, pois o livro tem muita teoria, mas a demonstrações são um bocado confusas.

Mais uma vez obrigado por tudo.


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MensagemEnviado: 16 jan 2018, 16:33 
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mxpxman,
vou tentar resolver depois, pois, trata-se de uma transformação linear diferente das que eu já vi.

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MensagemEnviado: 18 jan 2018, 17:33 
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mxpxman,
se, a transformação linear ocorre pelo polinômio característico:
\(ax^2+bx+c\)
temos como raízes deste polinômio (espectros ou autovalores):
\((x_1, x_2)\)
e
o espaço solução (autovetores) e base de \(\mathbb{R}^2\):
\(<\vec{i}, \vec{j}>\)

assumindo:
\(\vec{w}=(a-b, c-b, b-a)\)

temos, que:
sejam \(\mathbb{R}^2\) e \(\mathbb{R}^3\) espaços vetoriais sobre \(\mathbb{R}\), \(<\vec{i}, \vec{j}>\) bases de \(\mathbb{R}^2\) e \(\vec{w}\) vetor arbitrário em \(\mathbb{R}^3\), então existe uma única transformação linear \(T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^3 / T_{(\vec{i}/\vec{j})}=\vec{w}\)
Para determinar \(T\), dado \(\vec{u}=(x,y) \in \mathbb{R}^2\), devemos encontrar \(x_1\) e \(x_2 \in \mathbb{R}\), tais que:
\(\vec{u}=x_1\vec{i}+x_2\vec{j}
(x,y)=x_1(1,0)+x_2(0,1)\)
isto é, resolver o sistema não homogêneo:
\(\left.\begin{matrix}
x_1 & +0 & =x\\
0 & +x_2 & =y
\end{matrix}\right\}\)
logo,
\(T_{(x,y)}=T\left (x_1(1,0)+x_2(0,1) \right )
T_{(x,y)}=x_1T(1,0)+x_2T(0,1)
T_{(x,y)}=x_1\vec{w}+x_2\vec{w}
T_{(x,y)}=x_1(a-b, c-b, b-a)+x_2(a-b, c-b, b-a)
T_{(x,y)}=\left ( x(a-b)+y(a-b), x(c-b)+y(c-b), x(b-a)+y(b-a) \right )\)
como, a matriz que representa \(T\) é formada pelos coeficientes de\(x\) e \(y\), então, a matriz \(B\) é:
\(B\begin{bmatrix}
(a-b) & (a-b)\\
(c-b) & (c-b)\\
(b-a) & (b-a)
\end{bmatrix}\)

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