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MensagemEnviado: 08 abr 2018, 15:01 
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Quantos números naturais de 4 algarismos, escritos na base 10, que são iguais ao cubo da soma de seus algarismos?


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MensagemEnviado: 08 abr 2018, 20:01 
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Podendo recorrer a um computador, é um problema que dá para tratar na base da "força bruta"... A seguinte linha de código (Wolfram Mathematica) dá a resposta numa fração de segundo

Código:
Do[If[a + 10*b + 100*c + 1000*d == (a + b + c + d)^3,
  Print[d, c, b, a]], {a, 0, 9}, {b, 0, 9}, {c, 0, 9}, {d, 1, 9}]


Existem dois números nessas condições: 5832 e 4913.


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MensagemEnviado: 08 abr 2018, 22:24 
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Valeu pela ideia !!!


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MensagemEnviado: 12 abr 2018, 18:14 
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Creio que a ideia aqui é resolver sem ser à "força bruta" (com computador).
Isso pode ser feito do seguinte modo (vou só pôr os passos):
(1) Comece por ver que se um número é igual ao cubo da soma dos seus algarismos então o resto da divisão por 9 dessa soma é igual ao resto do seu cubo dividido por 9 (critério de divisão por 9).
(2) Verifique que 0,1 e 8 são os únicos restos nessa condição (note que \(x^3-x=(x-1)x(x+1)\) é múltiplo de 9 sse x-1, x ou x+1 o são).
(3) Tendo o número de 4 algarismos a soma deste estará compreendida entre \(\sqrt[3]{1000}=10\) e \(\sqrt[3]{9999}<22\).
(4) 10, 17, 18 e 19 são os unicos números entre 10 e 22 tais que o resíduo módulo 9 dá 0, 1 ou 8.
(5) Resta verificar de entre \(10^3,17^3,18^3,19^3\) quais verificam o que é pedido.


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MensagemEnviado: 12 abr 2018, 18:30 
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Rui Carpentier Escreveu:
Creio que a ideia aqui é resolver sem ser à "força bruta" (com computador).
Isso pode ser feito do seguinte modo (vou só pôr os passos):
(1) Comece por ver que se um número é igual ao cubo da soma dos seus algarismos então o resto da divisão por 9 dessa soma é igual ao resto do seu cubo dividido por 9 (critério de divisão por 9).
(2) Verifique que 0,1 e 8 são os únicos restos nessa condição (note que \(x^3-x=(x-1)x(x+1)\) é múltiplo de 9 sse x-1, x ou x+1 o são).
(3) Tendo o número de 4 algarismos a soma deste estará compreendida entre \(\sqrt[3]{1000}=10\) e \(\sqrt[3]{9999}<22\).
(4) 10, 17, 18 e 19 são os unicos números entre 10 e 22 tais que o resíduo módulo 9 dá 0, 1 ou 8.
(5) Resta verificar de entre \(10^3,17^3,18^3,19^3\) quais verificam o que é pedido.



Esta é a resposta mais plausível até o momento, já investiguei em muitos outros lugares mas ninguém sabe nem por onde começar.

Valeu !!!


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MensagemEnviado: 16 abr 2018, 09:15 
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Veio - me a resposta esta noite. Na verdade trata-se de um exercício de análise combinatória.


Quantos números naturais de 4 algarismos, escritos na base 10, que são iguais ao cubo da soma de seus algarismos?


resposta :

8x9x9x9 = ( A + B + C + D )^3

5832 = ( A + B + C + D )^3

raiz cúbica de ( 5832 ) = ( A + B + C + D )

18 = ( A + B + C + D )


Ou seja um único número que é o 18.


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MensagemEnviado: 16 abr 2018, 19:02 
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Leu bem as mensagens anteriores. Como frisou PierreQuadrado, há duas soluções: 5832 e 4913 (e não apenas 5832). Essas soluções podem ser obtidas seguindo os passos que anunciei no meu post. No final tinhamos quatro candidatos: 10^3=1000, 17^3=4913, 18^3=5832 e 19^3=6859. Destes, 4913 e 5832 são solução pois 4+9+1+3=17 e 5+8+3+2=18, enquanto 1000 e 6859 não o são pois 1+0+0+0=1\not= 10 e \(6+8+5+9=28\not= 19\).
Se houve algum dos quatro passos que anunciei que não conseguiu (ou não consegue) seguir/compreender diga.


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