30 ago 2018, 00:45
Olá, estou com dificuldade em algumas questões de equação de segundo grau. Ela pede para determinar a equação (forma funcional) e me da pontos, além de dar a informação que uma raiz é o dobro da outra.
O enunciado: Na função de segundo grau, f(x), uma raiz é o dobro da outra. Se f(1) = 20 e f(−1) = 56
então determinar a equação de f(x).
Eu tentei encontrar o vértice e montar um sistema linear, mas em ambos os casos não tive sucesso. Sei que é fácil determinar qual a equação caso tenha 3 pontos, porém não encontrei uma forma de descobrir um terceiro ponto.
30 ago 2018, 19:19
Vou fazer em passos largos (poderá ter que fazer algum esforço para completar o raciocínio).
1) Sendo \(r\) e \(2r\) as duas raízes (é dito que uma raíz é o dobro da outra) então a expressão geral de \(f(x)\) é \(f(x)=a(x-r)(x-2r)=a(x^2-3rx+2r^2)\).
2) De \(f(1)=20\) e \(f(-1)=56\) tira-se as equações \(a(1-3r+2r^2)=20\) e \(a(1+3r+2r^2)=56\).
3) Donde sai \(6ar=36\) e \(2a(1+2r^2)=76\).
4) Logo \(6(1+2r^2)=38r\).
5) Donde se conclui que \(r=\frac{1}{6}\) e \(a=36\) ou \(r=3\) e \(a=2\).
6) Portanto, \(f(x)=36x^2-18x+2\) ou \(f(x)=2x^2-18x+36\).