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Como determinar uma equação de segundo grau a partir de 2 pontos https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=73&t=13966 |
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Autor: | shazan [ 30 ago 2018, 00:45 ] |
Título da Pergunta: | Como determinar uma equação de segundo grau a partir de 2 pontos |
Olá, estou com dificuldade em algumas questões de equação de segundo grau. Ela pede para determinar a equação (forma funcional) e me da pontos, além de dar a informação que uma raiz é o dobro da outra. O enunciado: Na função de segundo grau, f(x), uma raiz é o dobro da outra. Se f(1) = 20 e f(−1) = 56 então determinar a equação de f(x). Eu tentei encontrar o vértice e montar um sistema linear, mas em ambos os casos não tive sucesso. Sei que é fácil determinar qual a equação caso tenha 3 pontos, porém não encontrei uma forma de descobrir um terceiro ponto. |
Autor: | Rui Carpentier [ 30 ago 2018, 19:19 ] |
Título da Pergunta: | Re: Como determinar uma equação de segundo grau a partir de 2 pontos |
Vou fazer em passos largos (poderá ter que fazer algum esforço para completar o raciocínio). 1) Sendo \(r\) e \(2r\) as duas raízes (é dito que uma raíz é o dobro da outra) então a expressão geral de \(f(x)\) é \(f(x)=a(x-r)(x-2r)=a(x^2-3rx+2r^2)\). 2) De \(f(1)=20\) e \(f(-1)=56\) tira-se as equações \(a(1-3r+2r^2)=20\) e \(a(1+3r+2r^2)=56\). 3) Donde sai \(6ar=36\) e \(2a(1+2r^2)=76\). 4) Logo \(6(1+2r^2)=38r\). 5) Donde se conclui que \(r=\frac{1}{6}\) e \(a=36\) ou \(r=3\) e \(a=2\). 6) Portanto, \(f(x)=36x^2-18x+2\) ou \(f(x)=2x^2-18x+36\). |
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