Sabendo que -2 é raiz do polinômio abaixo, em que x pertence ao conjunto dos números complexos, determine o valor da soma das demais raízes de p(x).
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| Autor: | FISMAQUI [ 13 nov 2020, 16:18 ] |
| Título da Pergunta: | Polinômio, números complexos e matriz |
Sabendo que -2 é raiz do polinômio abaixo, em que x pertence ao conjunto dos números complexos, determine o valor da soma das demais raízes de p(x). Anexo: Imagem1.gif [ 1.95 KiB | Visualizado 2948 vezes ] a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 |
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| Autor: | danjr5 [ 15 nov 2020, 16:10 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Polinômio, números complexos e matriz [resolvida] |
Olá FISMAQUI! Uma vez que, \(\mathtt{P(x) = \begin{vmatrix} \mathtt{x} & \mathtt{- 1} & \mathtt{1} \\ \mathtt{1} & \mathtt{x} & \mathtt{0} \\ \mathtt{0} & \mathtt{k} & \mathtt{x} \end{vmatrix}}\) Teremos, \(\\ \mathtt{P(x) = \begin{bmatrix} \mathtt{x} & \mathtt{- 1} & \mathtt{1} & | & \mathtt{x} & \mathtt{- 1} \\ \mathtt{1} & \mathtt{x} & \mathtt{0} & | & \mathtt{1} & \mathtt{x} \\ \mathtt{0} & \mathtt{k} & \mathtt{x} & | & \mathtt{0} & \mathtt{k} \end{bmatrix}} \\\\ \mathtt{P(x) = x^3 + 0 + k + 0 + 0 + x} \\\\ \boxed{\mathtt{P(x) = x^3 + x + k}}\) De acordo com o enunciado, \(\mathtt{- 2}\) é uma raiz do polinômio P. Portanto, temos que \(\boxed{\mathtt{P(- 2) = 0}}\). Daí, \(\\ \mathtt{P(x) = x^3 + x + k} \\\\ \mathtt{P(- 2) = (- 2)^3 + (- 2) + k} \\\\ \mathtt{0 = - 8 - 2 + k} \\\\ \boxed{\mathtt{k = 10}}\) Com efeito, \(\\ \mathtt{P(x) = x^3 + x + k} \\\\ \mathtt{P(x) = x^3 + x + 10} \\\\ \mathtt{P(x) = x^3 + 0x^2 + x + 10}\) Logo, por Girard, tiramos que a soma das raízes do polinômio P é: \(\\ \mathtt{Soma = - \frac{0}{1}} \\\\ \boxed{\mathtt{Soma = 0}}\) Porém, devemos descartar a raiz dada no enunciado e, por fim, concluímos que... \(\\ \texttt{Soma das raizes - raiz dada =} \\\\ \mathtt{0 - (- 2) =} \\\\ \boxed{\boxed{\boxed{2}}}\) |
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