13 nov 2020, 16:18
Sabendo que -2 é raiz do polinômio abaixo, em que x pertence ao conjunto dos números complexos, determine o valor da soma das demais raízes de p(x).
![Imagem1.gif](./download/file.php?id=4841&sid=6666522de9fdbe10d21d4b214625ea9c)
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a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
15 nov 2020, 16:10
Olá FISMAQUI!
Uma vez que,
\(\mathtt{P(x) = \begin{vmatrix} \mathtt{x} & \mathtt{- 1} & \mathtt{1} \\ \mathtt{1} & \mathtt{x} & \mathtt{0} \\ \mathtt{0} & \mathtt{k} & \mathtt{x} \end{vmatrix}}\)
Teremos,
\(\\ \mathtt{P(x) = \begin{bmatrix} \mathtt{x} & \mathtt{- 1} & \mathtt{1} & | & \mathtt{x} & \mathtt{- 1} \\ \mathtt{1} & \mathtt{x} & \mathtt{0} & | & \mathtt{1} & \mathtt{x} \\ \mathtt{0} & \mathtt{k} & \mathtt{x} & | & \mathtt{0} & \mathtt{k} \end{bmatrix}} \\\\ \mathtt{P(x) = x^3 + 0 + k + 0 + 0 + x} \\\\ \boxed{\mathtt{P(x) = x^3 + x + k}}\)
De acordo com o enunciado, \(\mathtt{- 2}\) é uma raiz do polinômio P. Portanto, temos que \(\boxed{\mathtt{P(- 2) = 0}}\).
Daí,
\(\\ \mathtt{P(x) = x^3 + x + k} \\\\ \mathtt{P(- 2) = (- 2)^3 + (- 2) + k} \\\\ \mathtt{0 = - 8 - 2 + k} \\\\ \boxed{\mathtt{k = 10}}\)
Com efeito,
\(\\ \mathtt{P(x) = x^3 + x + k} \\\\ \mathtt{P(x) = x^3 + x + 10} \\\\ \mathtt{P(x) = x^3 + 0x^2 + x + 10}\)
Logo, por Girard, tiramos que a soma das raízes do polinômio P é:
\(\\ \mathtt{Soma = - \frac{0}{1}} \\\\ \boxed{\mathtt{Soma = 0}}\)
Porém, devemos descartar a raiz dada no enunciado e, por fim, concluímos que...
\(\\ \texttt{Soma das raizes - raiz dada =} \\\\ \mathtt{0 - (- 2) =} \\\\ \boxed{\boxed{\boxed{2}}}\)