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Sabendo que o polinômio p(x) = rx² - xcos²β + senβ é divisível por x² - 3x + 2 e que r é um número real e β ∈ [0, 2π]. Determine o valor da soma dos possíveis valores de β.

a) π/2
b) π/3
c) 2π/3
d) 3π/4
e) π


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FISMAQUI Escreveu:
Sabendo que o polinômio p(x) = rx² - xcos²β + senβ é divisível por x² - 3x + 2 e que r é um número real e β ∈ [0, 2π]. Determine o valor da soma dos possíveis valores de β.

a) π/2
b) π/3
c) 2π/3
d) 3π/4
e) π


Sejam P e Q dois polinômios tais que \(\mathtt{P(x) = rx^2 - x \cdot \cos^2 \beta + \sin \beta}\) e \(\mathtt{Q(x) = x^2 - 3x + 2}\), onde \(\mathtt{Q | P}\), \(\mathtt{r \in \mathbb{R}}\) e \(\mathtt{\beta \in \left [ 0, 2\pi \right ]}\).

Do polinômio Q tiramos que:

\(\\ \mathtt{Q(x) = x^2 - 3x + 2} \\\\ \mathtt{Q(x) = (x - 1)(x - 2)}\)

Isto é, \(\boxed{\mathtt{P(1) = P(2) = 0}}\). Pois, P(x) é divisível por Q(x)!

Por conseguinte, temos que:

\(\\ \mathtt{P(x) = rx^2 - x \cdot \cos^2 \beta + \sin \beta \Rightarrow \begin{cases} \mathtt{r - \cos^2 \beta + \sin \beta = 0} \\ \mathtt{4r - 2 \cdot \cos^2 \beta + \sin \beta = 0} \end{cases}}\)

Resolvendo este sistema obtemos \(\boxed{\mathtt{\cos \beta = \sqrt{3r}}}\) e \(\boxed{\mathtt{\sin \beta = 2r}}\). Contudo, vale salientar que \(\mathtt{r \geq 0}\), pois há restrição no cosseno de beta.

Isto posto, aplicamos a relação... \(\boxed{\mathtt{\sin^2 x + \cos^2 x = 1}}\). Segue,

\(\\ \mathtt{\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1} \\\\ \mathtt{4r^2 + 3r = 1} \\\\ \mathtt{4r^2 + 3r - 1 = 0} \\\\ \mathtt{\vdots} \\\\ \boxed{\mathtt{S_r = \left \{ - 1, \frac{1}{4} \right \}}}\)

Porém, \(\mathtt{r}\) não pode assumir valores negativos... Então,

\(\\ \mathtt{\sin \beta = 2r} \\\\ \mathtt{\sin \beta = 2 \cdot \frac{1}{4}} \\\\ \mathtt{\sin \beta = \frac{1}{2}} \\\\ \boxed{\mathtt{S_{\beta} = \left \{ \beta \in \mathbb{R} \, / \, \beta = \frac{\pi}{6} + k \pi \ ou \ \beta = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \ k \in \mathbb{Z} \right \}}}\)

Considerando o intervalo correspondente a beta concluímos que \(\boxed{\mathtt{\beta = \frac{\pi}{6}}}\) e \(\boxed{\mathtt{\beta = \frac{5\pi}{6}}}\) são seus possíveis valores.

Por fim,

\(\\ \displaystyle \mathtt{\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} =} \\\\ \displaystyle \mathtt{\frac{6\pi}{6} =} \\\\ \boxed{\boxed{\boxed{\mathtt{\pi}}}}\)

_________________
Daniel Ferreira
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