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| Valor mínimo da função quadrática https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=73&t=1876 |
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| Autor: | hmmalafaia [ 24 fev 2013, 20:05 ] |
| Título da Pergunta: | Valor mínimo da função quadrática |
Para \(x > 0\), qual é o valor mínimo de: \(y = x^2 + \frac{1}{x}\) Alguém pode me dar o passo-a-passo desta questão ? Não apenas a fórmula, os cálculos. Obrigado ! |
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| Autor: | Sobolev [ 25 fev 2013, 16:33 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Valor mínimo da função quadrática |
\(y(x)=x^2+\frac{1}{x} y'(x)=2x - \frac{1}{x^2} y''(x)=2 + \frac{2}{x^3}\) Começando por observar que y''(x) > 0 para x>0, vemos que y é estritamente convexa no intervalo em estudo. Assim, se existir algum minimizante local, ele será minimizante global. \(y'(x)=0 \Leftrightarrow 2x - \frac{1}{x^2} = 0 \Leftrightarrow 2 x^3 \eq 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\) Ora, como \(y'(1/\sqrt[3]{2}) = 0, \quad y''(1/\sqrt[3]{2}) > 0\) sabemos que esse ponto é um minimizante local que (sendo f convexa) é também o minimizante global. O mínimo global será \(y(1/\sqrt[3]{2}) = 2^{2/3}+\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\) |
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| Autor: | hmmalafaia [ 26 fev 2013, 00:47 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Valor mínimo da função quadrática |
Gabarito indica resposta : 3· raiz cúbica de 2 sobre 2 :s. |
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