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(x³ + 2x² + px + q)/(x² + x + 1) é exata, calcule p + q
https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=73&t=1906		 Página 1 de 1
Autor:  NiGoRi [ 01 mar 2013, 16:25 ]
Título da Pergunta:  (x³ + 2x² + px + q)/(x² + x + 1) é exata, calcule p + q
Olá.

Gostaria de saber se você pode me explicar como resolvo essa divisão de polinômio com incógnita, pois tentei aplicar um processo análogo ao que vi aqui no fórum, porém não consegui. O processo é o de dividir o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor, fazer a multiplicação do resultado desta divisão pelo divisor completo e subtrair do dividendo. Complicado, né? Eu que o diga!
Pois bem, segue abaixo a equação que preciso resolver.

Agradeço desde já.

Anexos:
POLINÔMIOS 5.png
POLINÔMIOS 5.png [ 66.38 KiB | Visualizado 2155 vezes ]
Autor:  danjr5 [ 02 mar 2013, 11:52 ]
Título da Pergunta:  Re: (x³ + 2x² + px + q)/(x² + x + 1) é exata, calcule p + q
Nigori,
Se \(x^2 + x + 1\) divide \(x^3 + 2x^2 + px + q\), então o maior grau possível do quociente é um e o resto é zero, daí:

\(\\ x^3 + 2x^2 + px + q = (x^2 + x + 1)(ax^1 + b) + 0 \\\\ x^3 + 2x^2 + px + q = ax^3 + bx^2 + ax^2 + bx + ax + b \\\\ x^3 + 2x^2 + px + q = ax^3 + (a + b)x^2 + (a + b)x + b\)

Da igualdade acima tiramos:

\(\begin{cases} a = 1 \\ a + b = 2 \\ a + b = p \\ b = q\end{cases}\)

Se \(a = 1\), então \(b\) vale:

\(\\ a + b = 2 \\ 1 + b = 2 \\ b = 1\)

Conclua o exercício e diga-nos o valor encontrado.

Att,

Daniel.
Autor:  NiGoRi [ 03 mar 2013, 09:15 ]
Título da Pergunta:  Re: (x³ + 2x² + px + q)/(x² + x + 1) é exata, calcule p + q
Então a resposta vai ficar assim:

p=2
q=1

p+q=3

Obs.: só uma dúvida: você disse que o grau do quociente é um e que o resto vai dar zero porque x^3/x^2= x, né?

Te agradeço muito. Obrigado mesmo.
Autor:  danjr5 [ 03 mar 2013, 22:08 ]
Título da Pergunta:  Re: (x³ + 2x² + px + q)/(x² + x + 1) é exata, calcule p + q
Isso mesmo NiGoRi!!

Até a próxima.
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