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| indução finita https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=73&t=2005 |
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| Autor: | karinap [ 13 mar 2013, 14:49 ] |
| Título da Pergunta: | indução finita |
Mostre, por indução finita, que: 1 + t + t² + ... + t^n = 1-t / 1-t , t diferente de 1 para todo n > ou = 1. Obrigada!!! |
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| Autor: | João Torgal [ 15 mar 2013, 12:13 ] |
| Título da Pergunta: | Re: indução finita |
Antes de mais, há um engano na pergunta. No enunciado, o segundo membro deve ser \(\frac{1-t^{n+1}}{1-t}\) Resolução: Passo básico: n = 1 \(1+t = \frac{(1+t)(1-t)}{(1-t)}= \frac{1-t^2}{1-t}\) Logo está provado Passo indutivo: n = k, temos \(1+t+t^2+...+t^k = \frac{1-t^{k+1}}{1-t}\) Temos então de provar que, para n = k+1, \(1+t+t^2+...+t^k+t^{k+1} = \frac{1-t^{k+2}}{1-t}\) Pela hipótese de indução \(1+t+t^2+...+t^k+t^{k+1} = \frac{1-t^{k+1}}{1-t}+t^{k+1}\) = \(\frac{1-t^{k+1}+t^{k+1}(1-t)}{1-t}\) = \(\frac{1-t^{k+2}}{1-t}\), como queríamos demonstrar |
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| Autor: | karinap [ 16 mar 2013, 23:10 ] |
| Título da Pergunta: | Re: indução finita |
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