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Considere a expressão p(X) =( x^4 + x^2 +1)/(x^2-1), x diferente de 1 e x diferente de -1 .
Determine o polinômio q(x) e as constantes A, B e C tais que p(x) = q(x) + A/(x^2 - 1) e A/(x^2 - 1) = B/(x-1) + C/(x+1), x diferente de 1 e x diferente de -1.

Meu caro

Tem o polinómio

\(p(x) =\frac{x^4 + x^2 +1}{x^2-1} \ x \neq 1 \wedge x \neq -1\)

Quer achar primeiro \(q(x)\) e \(A\), em que:

\(p(x) = q(x) + \frac{A}{x^2 - 1}\)

Então:

\(\frac{x^4 + x^2 +1}{x^2-1} = q(x) + \frac{A}{x^2 - 1}\)

\(x^4 + x^2 +1=q(x)(x^2-1)+A\)

\(q(x)(x^2-1)=x^4 + x^2 +1-A\)

Considerando \(q(x)=a x^2+b x+c\)

\((a x^2+b x+c)(x^2-1)=x^4 + x^2 +1-A\)

\(a x^4 +b x^3 +(c-a) x^2 -b x -c = x^4 +x^2 +1 -A\)

donde se tira

\(a=1\)

\(b=0\)

\(c-a=1\)

\(1-A=-c\)

e facilmente se obtem o polinómio \(q(x)\)

O mesmo raciocínio é análogo para o outro caso

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João Pimentel Ferreira
 
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Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

obrigado joão pimentel!..A questão era uma simples identidade polinomial!

De nada meu caro

volte sempre

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João Pimentel Ferreira
 
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