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| Algebra-Par Ordenado https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=73&t=2373 |
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| Autor: | amadeu [ 28 abr 2013, 03:47 ] |
| Título da Pergunta: | Algebra-Par Ordenado |
Se o par ordenado \((x,y)\) de inteiros positivos, é a solução da equação \(x^3-y^3=xy+61\), podemos afirmar que\(\;\,x+y\) é igual a: a)\(11\hspace{40}\)b)\(12\hspace{40}\)c)\(13\hspace{40}\)d)\(14\hspace{40}\)e)\(15\) Não possuo a solução. att. amadeu |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 28 abr 2013, 21:19 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Algebra-Par Ordenado |
Não tenho muito tempo pelo que só vou dar uma dica: Sendo \(x\) e \(y\) inteiro positivos temos que \(x^3-y^3=xy+61>0\) implica que \(x>y>0\). Assim \(xy+61=x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\geq x^2+xy+y^2\) logo \(x^2+y^2\leq 61\) pelo que \(x<\sqrt{61}\) logo \(1\leq y<x\leq 7\). Agora é só estudar um nº finito de casos. Pode ser mais fácil considerar cada caso x-y=1 ou 2 ou 3 (é possível excluir os casos \(x-y\geq 4\) uma vez que \(x^3=y^3+xy+61>61\Rightarrow x\geq 4\) e \(x-y\geq 4\Rightarrow 4x^2+4y^2\leq 61\Rightarrow x\leq 3\)). |
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