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| PA E PG https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=73&t=2417 |
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| Autor: | João Neto [ 03 mai 2013, 01:42 ] |
| Título da Pergunta: | PA E PG |
Sejam (1, a2, a3, a4) e (1, b2, b3, b4) uma progressão aritmética e uma progressão geométrica, respectivamente, ambas com a mesma soma dos termos e ambas crescentes. Se a razão r da progressão aritmética é o dobro da razão q de progressão geométrica, então, o produto r.q é igual a: A) 15 B) 18 C) 21 D) 24 |
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| Autor: | danjr5 [ 05 mai 2013, 16:02 ] |
| Título da Pergunta: | Re: PA E PG |
Olá João Neto, boa tarde! Da P.A tiramos: \(a_2 - 1 = a_3 - a_2 = a_4 - a_3 = r\) i: \(\\ a_2 - 1 = r \\ \fbox{a_2 = r + 1}\) ii: \(\\ a_3 - a_2 = r \\ a_3 = a_2 + r \\ a_3 = (r + 1) + r \\ \fbox{a_3 = 2r + 1}\) iii: \(\\ a_4 - a_3 = r \\ a_4 = a_3 + r \\ a_4 = (2r + 1) + r \\ \fbox{a_4 = 3r + 1}\) Da P.G tiramos: \(\frac{b_2}{1} = \frac{b_3}{b_2} = \frac{b_4}{b_3} = q\) i: \(\\ \frac{b_2}{1} = q \\ \fbox{b_2 = q}\) ii: \(\\ \frac{b_3}{b_2} = q \\ b_3 = b_2 \cdot q \\ b_3 = q \cdot q \\ \fbox{b_3 = q^2}\) iii: \(\\ \frac{b_4}{b_3} = q \\ b_4 = b_3 \cdot q \\ b_4 = q^2 \cdot q \\ \fbox{b_4 = q^3}\) Do enunciado temos \(\begin{cases} r = 2q \\ 1 + a_2 + a_3 + a_4 = 1 + b_2 + b_3 + b_4\end{cases}\). Da equação II: \(1 + a_2 + a_3 + a_4 = 1 + b_2 + b_3 + b_4\) \((r + 1) + (2r + 1) + (3r + 1) = q + q^2 + q^3\) \(6r + 3 = q + q^2 + q^3\) \(6 \cdot 2q + 3 = q + q^2 + q^3\) q³ + q² - 11q - 3 = 0 \(\fbox{q = 3}\) Substituindo na equação I, teremos: \(\\ r = 2q \\ r = 2 \cdot 3 \\ \fbox{r = 6}\) Logo, \(\fbox{\fbox{\fbox{rq = 18}}}\) |
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| Autor: | João Neto [ 07 mai 2013, 16:03 ] |
| Título da Pergunta: | Re: PA E PG |
A resposta está correta. Mas como resolveste essa equação do 3° grau? Acho que é a parte mais difícil. q³ + q² - 11q - 3 = 0 |
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| Autor: | Sobolev [ 07 mai 2013, 16:12 ] |
| Título da Pergunta: | Re: PA E PG |
Uma forma mais simples, sem sequer pensar nas progrssões propriamente ditas: Se r = 2q então r q = 2 q^2. Das alternativas apresentadas 18 é a única que corresponde ao dobro de um quadrado perfeito. |
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