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Considere o polinômio \(x^5 - 3x^4 - 3x^3 + 27x^2 - 44x + 30\). Sabendo que o produto de duas de suas raízes é igual a \(3 - i\) e que as partes reais e imaginárias de todas as suas raízes complexas são inteiras e não nulas, calcule todas as raízes do polinômio.

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Daniel Ferreira
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Vamos designar por \(r_1,r_2,r_3,r_4\) e \(r_5\) as raízes do polinómio (eventualmente repetidas de acordo com as suas multiplicidades).
É nos dito que duas delas (suponhamos sem perda de generalidade \(r_1\) e \(r_2\)) quando multiplicadas dão \(3-i\) logo não podem ser conjugadas \(\overline{r_1}\not=r_2\).
O polinómio é real logo as suas raízes são reais ou pares de conjugados. Portanto podemos supor \(r_3=\overline{r_1}, r_4=\overline{r_2}\) e \(r_5=\overline{r_5}\).
Do polinómio \(x^5 - 3x^4 - 3x^3 + 27x^2 - 44x + 30=(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)(x-r_4)(x-r_5)\) tiramos que \(r_1r_2r_3r_4r_5=-30 \Leftrightarrow (r_1r_2)\overline{(r_1r_2)}r_5=-30\Leftrightarrow (3-i)(3+i)r_5=-30\). Logo \(r_5=-3\).

Dividindo \(x^5 - 3x^4 - 3x^3 + 27x^2 - 44x + 30\) por \(x+3\) temos \(x^4-6x^3+15x^2-18x+10=(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)(x-r_4)=(x-r_1)(x-r_2)(x-\overline{r_1})(x-\overline{r_2})=(x^2-2Re(r_1)x+|r_1|)(x^2-2Re(r_2)x+|r_2|)\).

Donde se tira que \(Re(r_1)+Re(r_2)=3\). Assim sendo, \(Re(r_1)^2+Re(r_2)^2+2Re(r_1)Re(r_2)=3^2=10-1=|r_1||r_2|-1=Re(r_1)^2+Re(r_2)^2+Im(r_1)^2+Im(r_2)^2-1\). Ou seja, \(2Re(r_1)Re(r_2)=Im(r_1)^2+Im(r_2)^2-1\).

Como é dito que as raízes complexas têm partes reais e imaginárias inteiras não-nulas temos \(Re(r_1)Re(r_2)> 0\), logo \(Re(r_1)=1\) e \(Re(r_2)=2\) (ou vice-versa).

A partir daqui é fácil chegar às soluções: \(1-i , 2+i , 1+i , 2-i , -3\).


e \(|r_1||r_2|\).