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| (ITA) Polinômios: (ax² - 2bx + c + 1)⁵ https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=73&t=2984 |
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| Autor: | danjr5 [ 30 jun 2013, 00:52 ] |
| Título da Pergunta: | (ITA) Polinômios: (ax² - 2bx + c + 1)⁵ |
No desenvolvimento de \((ax^2 - 2bx + c + 1)^5\) obtém-se um polinômio \(p(x)\) cujos coeficientes somam \(32\). Se \(0\) e \(- 1\) são raízes de \(p(x)\), então a soma \(a + b + c\) é igual a \(\\ a) - \frac{1}{2} \\\\ b) - \frac{1}{4} \\\\ c) \frac{1}{2} \\\\ d) 1 \\\\ e) - \frac{3}{2} \\\\\) |
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| Autor: | santhiago [ 30 jun 2013, 14:42 ] |
| Título da Pergunta: | Re: (ITA) Polinômios: (ax² - 2bx + c + 1)⁵ [resolvida] |
Acredito que podemos fazer este exercício da seguinte forma . Consideremos \(q(x) = ax^2 -2bx +c +1 , q^5(x) = p(x)\) .Foi dado que \(p(0) = 0\) ;logo \(q(0) = 0\) . Assim , obtemos \(c = - 1\) .Segue ,então \(q(x) = ax^2 -2bx = x(ax - 2b)\) .Deixando o número \(a\) em evidência e usando que \((*) -(-2b/a) = 2b/a\) é a soma das raízes ,i.e, \(2b/a = 0 + (-1) = - 1\) . Temos , \(q(x) = ax(x + 1)\) . Lembrando que \(q^5(x)=a^5x^5(x+1)^5= p(x)\) , pelo binômio de Newton , \((x+1)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k}\) .Mas ,sabemos que a soma dos coeficientes de \(p\) é \(32\) ,então \(a^5 \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} = 32\) (por favor faça as contas ) o que implica \(a = 1\) .Agora vamos encontrar o número \(b\) .Por \((*)\) , \(2b/a = -1 \Rightarrow b = -a/2 = -1/2\) . Agora basta fazer a soma dos números . |
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