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Ramon,
tomemos como exemplo a seguinte equação de grau três: \(ax^3 + bx^2 + cx + d\). Segundo as "Relações de Girard":
\(\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a} \\ x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = \frac{c}{a} \\ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = - \frac{d}{a} \end{cases}\)
Com isso,...
Soma:
\(x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a}\)
\(x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{- 6}{1}\)
\(\fbox{x_1 + x_2 + x_3 = 6}\)
Produto/Soma:
\(x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = \frac{c}{a}\)
\(x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = \frac{3}{1}\)
\(\fbox{x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = 3}\)
Produto:
\(x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = - \frac{d}{a}\)
\(x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = - \frac{k}{1}\)
\(\fbox{x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = - k}\)
De acordo com o enunciado, as raízes formam uma P.A, então:
\(\\ x_2 - x_1 = x_3 - x_2 \\ x_2 + x_2 = x_1 + x_3 \\ \fbox{2 \cdot x_2 = x_1 + x_3}\)
Substituindo a última equação (em destaque) na primeira equação destacada, temos:
\(\\ x_1 + x_2 + x_3 = 6 \\ x_2 + \underbrace{x_1 + x_3}_{2 \cdot x_2} = 6 \\ 3 \cdot x_2 = 6 \\ \fbox{\fbox{x_2 = 2}}\)
Por enquanto, não podemos concluir a questão, então, continuemos.
Da 1ª equação destacada...
\(\\ x_1 + x_2 + x_3 = 6 \\ x_1 + 2 + x_3 = 6 \\ \fbox{x_1 = 4 - x_3}\)
Da 2ª equação em destaque...
\(x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = 3\)
\(2 \cdot x_1 + x_1 \cdot x_3 + 2 \cdot x_3 = 3\)
\(x_1(2 + x_3) + 2 \cdot x_3 = 3\)
\((4 - x_3)(2 + x_3) + 2 \cdot x_3 = 3\)
\(8 + 4 \cdot x_3 - 2 \cdot x_3 - x^2_3 + 2 \cdot x_3 = 3\)
x²_3 - 4 . x_3 - 5 = 0
\((x_3 - 5)(x_3 + 1) = 0\)
\(\fbox{\fbox{x_3 = 5}} \;\; \text{e} \;\; \fbox{\fbox{x_3 = - 1}}\)
Logo, a solução da equação é: \(\fbox{\fbox{\fbox{S = \left \{ - 1, 2, 5 \right \}}}}\)
Daí, alternativa b.
Comente qualquer dúvida!
Att,
Daniel Ferreira.
_________________ Daniel Ferreirase gosta da resposta,
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