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| raízes do polinômio https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=73&t=3114 |
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| Autor: | Ramon1992 [ 13 jul 2013, 23:41 ] |
| Título da Pergunta: | raízes do polinômio |
As raízes do polinômio p(x) = x³ - 6x² + 3x + k estão em P.A. Então: a)k=6 b)sua maior raiz é 5 c)sua menor raiz é 3 d)uma de sua raízes é 4 e)uma de sua raízes é -2 |
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| Autor: | danjr5 [ 14 jul 2013, 18:21 ] |
| Título da Pergunta: | Re: raízes do polinômio |
Ramon, tomemos como exemplo a seguinte equação de grau três: \(ax^3 + bx^2 + cx + d\). Segundo as "Relações de Girard": \(\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a} \\ x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = \frac{c}{a} \\ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = - \frac{d}{a} \end{cases}\) Com isso,... Soma: \(x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a}\) \(x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{- 6}{1}\) \(\fbox{x_1 + x_2 + x_3 = 6}\) Produto/Soma: \(x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = \frac{c}{a}\) \(x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = \frac{3}{1}\) \(\fbox{x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = 3}\) Produto: \(x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = - \frac{d}{a}\) \(x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = - \frac{k}{1}\) \(\fbox{x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = - k}\) De acordo com o enunciado, as raízes formam uma P.A, então: \(\\ x_2 - x_1 = x_3 - x_2 \\ x_2 + x_2 = x_1 + x_3 \\ \fbox{2 \cdot x_2 = x_1 + x_3}\) Substituindo a última equação (em destaque) na primeira equação destacada, temos: \(\\ x_1 + x_2 + x_3 = 6 \\ x_2 + \underbrace{x_1 + x_3}_{2 \cdot x_2} = 6 \\ 3 \cdot x_2 = 6 \\ \fbox{\fbox{x_2 = 2}}\) Por enquanto, não podemos concluir a questão, então, continuemos. Da 1ª equação destacada... \(\\ x_1 + x_2 + x_3 = 6 \\ x_1 + 2 + x_3 = 6 \\ \fbox{x_1 = 4 - x_3}\) Da 2ª equação em destaque... \(x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = 3\) \(2 \cdot x_1 + x_1 \cdot x_3 + 2 \cdot x_3 = 3\) \(x_1(2 + x_3) + 2 \cdot x_3 = 3\) \((4 - x_3)(2 + x_3) + 2 \cdot x_3 = 3\) \(8 + 4 \cdot x_3 - 2 \cdot x_3 - x^2_3 + 2 \cdot x_3 = 3\) x²_3 - 4 . x_3 - 5 = 0 \((x_3 - 5)(x_3 + 1) = 0\) \(\fbox{\fbox{x_3 = 5}} \;\; \text{e} \;\; \fbox{\fbox{x_3 = - 1}}\) Logo, a solução da equação é: \(\fbox{\fbox{\fbox{S = \left \{ - 1, 2, 5 \right \}}}}\) Daí, alternativa b. Comente qualquer dúvida! Att, Daniel Ferreira. |
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