Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá a todos !
Desejava que alguém me ajudasse a resolver esta questão.
Sinceramente, não sei nem como começar.

Um polinómio \(p(x)\) dividido por \(\,x^2+x+1\,\) dá resto \(\,-x+1\,\) e dividido por
\(\,x^2-x+1\,\) dá resto \(\,3x+5\,\). Qual é o resto da divisão de \(p(x)\) por\(\,x^4+x^2+1\) ?

Grato:
amadeu

A regra da divisão é

\(D=d\times q+r\)

onde:
D-dividendo
d-divisor
q-quociente
r-resto

então quer achar \(r(x)\)

\(p(x)=(x^2+x+1)\times q_1-x+1\)

\(p(x)=(x^2-x+1)\times q_2+3x+5\)

\(p(x)=(x^4+x^2+1)\times q_3+r(x)\)

não sei se é este o caminho...

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João Pimentel Ferreira
 
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Mestre João, tentei este caminho também, dei tratos à bola para ver se conseguia colaborar, mas não consegui.

Fiz

\(p(x)=(x^2+x+1)\times q_1-x+1 =(x^2-x+1)\times q_2+3x+5\)

mas acabamos com duas incógnitas que não nos ajudam em nada, \(q_1 \text{ e } q_2\)

Abração
Mauro

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Mauro Trerotola
Frase que mais gosto: "Não sabendo que era impossível, foi lá e fez!"

Olá,

Uma observação que faço é que \(x^4 + x^2 + 1\) é o produto dos dois divisores de p(x) dados.

Então multiplicando a primeira expressão de p(x) dos contribuidores acima pelo segundo divisor obtemos uma expressão (Euclidiana! bonito escrever isso.) com o fator \(x^4 + x^2 + 1\).

E multiplicando a segunda expressão de p(x) dos contribuidores acima pelo primeiro divisor obtemos o fator \(x^4 + x^2 + 1\).

Daí, que beleza, subtraímos uma da outra, isolamos p(x) e encontramos \(r(x)\), certo? ... Talvez não ...

Caro Amadeu poderia confirmar as expressões dos restos?

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Fraol
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Oi fraol

Não se importa de desenvolver em linguagem numérica, o que postou por escrito ?
Para eu entender melhor o seu raciocínio ?

Grato
amadeu

Boa noite,


Sim, vamos lá, veja:


Pois \((x^2+x+1) \cdot (x^2-x+1) = x^4+x^2+1\).


\((x^2-x+1) p(x) = f(x) (x^2+x+1)(x^2-x+1) -(x-1)(x^2-x+1) \Leftrightarrow (x^2-x+1) p(x) = f(x) (x^4+x^2+1)-x^3+2x^2-2x + 1\)


\((x^2+x+1) p(x) = g(x) (x^2-x+1)(x^2+x+1) + (3x+5)(x^2+x+1) \Leftrightarrow (x^2+x+1) p(x) = g(x) (x^4+x^2+1) + 3x^3+8x^2+8x+5\)


\(-\left\{\begin{matrix} (x^2-x+1) p(x)& = & f(x) (x^4+x^2+1)-x^3+2x^2-2x + 1 \\ (x^2+x+1) p(x) & = & g(x) (x^4+x^2+1) + 3x^3+8x^2+8x+5 \end{matrix}\right.\)

Fazendo a subtração temos:

\((-2x)p(x) = (f(x)-g(x))(x^4+x^2+1)-4x^3-6x^2-10x-4\)

Aqui, se levarmos o -2x para o lado direito vamos obter um ou mais termos em x com expoente negativo e isso não é correto ... Daí foi que pedi:

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Fraol
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