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| Qual o resto da 3ª divisão de um polinómio, após duas divisões anteriores por polinómios diferentes e restos diferentes https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=73&t=3146 |
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| Autor: | amadeu [ 18 jul 2013, 03:31 ] |
| Título da Pergunta: | Qual o resto da 3ª divisão de um polinómio, após duas divisões anteriores por polinómios diferentes e restos diferentes |
Olá a todos ! Desejava que alguém me ajudasse a resolver esta questão. Sinceramente, não sei nem como começar. Um polinómio \(p(x)\) dividido por \(\,x^2+x+1\,\) dá resto \(\,-x+1\,\) e dividido por \(\,x^2-x+1\,\) dá resto \(\,3x+5\,\). Qual é o resto da divisão de \(p(x)\) por\(\,x^4+x^2+1\) ? Grato: amadeu |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 19 jul 2013, 20:07 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Qual o resto da 3ª divisão de um polinómio, após duas divisões anteriores por polinómios diferentes e restos diferentes |
A regra da divisão é \(D=d\times q+r\) onde: D-dividendo d-divisor q-quociente r-resto então quer achar \(r(x)\) \(p(x)=(x^2+x+1)\times q_1-x+1\) \(p(x)=(x^2-x+1)\times q_2+3x+5\) \(p(x)=(x^4+x^2+1)\times q_3+r(x)\) não sei se é este o caminho... |
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| Autor: | Mauro [ 19 jul 2013, 21:11 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Qual o resto da 3ª divisão de um polinómio, após duas divisões anteriores por polinómios diferentes e restos diferentes |
João P. Ferreira Escreveu: A regra da divisão é \(D=d\times q+r\) onde: D-dividendo d-divisor q-quociente r-resto então quer achar \(r(x)\) \(p(x)=(x^2+x+1)\times q_1-x+1\) \(p(x)=(x^2-x+1)\times q_2+3x+5\) \(p(x)=(x^4+x^2+1)\times q_3+r(x)\) não sei se é este o caminho... Mestre João, tentei este caminho também, dei tratos à bola para ver se conseguia colaborar, mas não consegui. Fiz \(p(x)=(x^2+x+1)\times q_1-x+1 =(x^2-x+1)\times q_2+3x+5\) mas acabamos com duas incógnitas que não nos ajudam em nada, \(q_1 \text{ e } q_2\) Abração Mauro |
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| Autor: | Fraol [ 20 jul 2013, 02:30 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Qual o resto da 3ª divisão de um polinómio, após duas divisões anteriores por polinómios diferentes e restos diferentes |
Olá, Uma observação que faço é que \(x^4 + x^2 + 1\) é o produto dos dois divisores de p(x) dados. Então multiplicando a primeira expressão de p(x) dos contribuidores acima pelo segundo divisor obtemos uma expressão (Euclidiana! bonito escrever isso.) com o fator \(x^4 + x^2 + 1\). E multiplicando a segunda expressão de p(x) dos contribuidores acima pelo primeiro divisor obtemos o fator \(x^4 + x^2 + 1\). Daí, que beleza, subtraímos uma da outra, isolamos p(x) e encontramos \(r(x)\), certo? ... Talvez não ... Caro Amadeu poderia confirmar as expressões dos restos? |
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| Autor: | amadeu [ 30 jul 2013, 05:08 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Qual o resto da 3ª divisão de um polinómio, após duas divisões anteriores por polinómios diferentes e restos diferentes |
Oi fraol Não se importa de desenvolver em linguagem numérica, o que postou por escrito ? Para eu entender melhor o seu raciocínio ? Grato amadeu |
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| Autor: | Fraol [ 30 jul 2013, 22:49 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Qual o resto da 3ª divisão de um polinómio, após duas divisões anteriores por polinómios diferentes e restos diferentes |
Boa noite, amadeu Escreveu: Oi fraol Não se importa de desenvolver em linguagem numérica, o que postou por escrito ? Para eu entender melhor o seu raciocínio ? Grato amadeu Sim, vamos lá, veja: fraol Escreveu: Uma observação que faço é que \(x^4 + x^2 + 1\) é o produto dos dois divisores de p(x) dados. Pois \((x^2+x+1) \cdot (x^2-x+1) = x^4+x^2+1\). fraol Escreveu: Então multiplicando a primeira expressão de p(x) dos contribuidores acima pelo segundo divisor obtemos uma expressão (Euclidiana! bonito escrever isso.) com o fator \(x^4 + x^2 + 1\). \((x^2-x+1) p(x) = f(x) (x^2+x+1)(x^2-x+1) -(x-1)(x^2-x+1) \Leftrightarrow (x^2-x+1) p(x) = f(x) (x^4+x^2+1)-x^3+2x^2-2x + 1\) fraol Escreveu: E multiplicando a segunda expressão de p(x) dos contribuidores acima pelo primeiro divisor obtemos o fator \(x^4 + x^2 + 1\). \((x^2+x+1) p(x) = g(x) (x^2-x+1)(x^2+x+1) + (3x+5)(x^2+x+1) \Leftrightarrow (x^2+x+1) p(x) = g(x) (x^4+x^2+1) + 3x^3+8x^2+8x+5\) fraol Escreveu: Daí, que beleza, subtraímos uma da outra, isolamos p(x) e encontramos \(r(x)\), certo? ... Talvez não ... \(-\left\{\begin{matrix} (x^2-x+1) p(x)& = & f(x) (x^4+x^2+1)-x^3+2x^2-2x + 1 \\ (x^2+x+1) p(x) & = & g(x) (x^4+x^2+1) + 3x^3+8x^2+8x+5 \end{matrix}\right.\) Fazendo a subtração temos: \((-2x)p(x) = (f(x)-g(x))(x^4+x^2+1)-4x^3-6x^2-10x-4\) Aqui, se levarmos o -2x para o lado direito vamos obter um ou mais termos em x com expoente negativo e isso não é correto ... Daí foi que pedi: fraol Escreveu: Caro Amadeu poderia confirmar as expressões dos restos?
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