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| Polinômios: x⁸ + 3x⁴ - 4 https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=73&t=3629 |
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| Autor: | danjr5 [ 18 set 2013, 05:59 ] |
| Título da Pergunta: | Polinômios: x⁸ + 3x⁴ - 4 |
Bom dia a todos! Encontrei uma questão bem interessante, e gostaria de compartilhá-la com os colegas. Tentem não olhar a reposta antes de fazê-la!! \(f_1(x)\), \(f_2(x)\), \(f_3(x)\), \(f_4(x)\) e \(f_5(x)\) são 5 polinômios não constantes com coeficientes inteiros tais que \(f_1(x) \cdot f_2(x) \cdot f_3(x) \cdot f_4(x) \cdot f_5(x) = x^8 + 3x^4 - 4\). Qual é o valor de \(|f_1(x)| + |f_2(x)| + |f_3(x)| + |f_4(x)| + |f_5(x)|\)? Spoiler: |
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| Autor: | danjr5 [ 01 dez 2013, 07:51 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Polinômios: x⁸ + 3x⁴ - 4 |
Prezados, somente hoje percebi o equívoco no enunciado da questão! Feita a retificação, segue, \(f_1(x)\), \(f_2(x)\), \(f_3(x)\), \(f_4(x)\) e \(f_5(x)\) são 5 polinômios não constantes com coeficientes inteiros tais que \(f_1(x) \cdot f_2(x) \cdot f_3(x) \cdot f_4(x) \cdot f_5(x) = x^8 + 3x^4 - 4\). Qual é o valor de \(|f_1(1)| + |f_2(1)| + |f_3(1)| + |f_4(1)| + |f_5(1)|\)? Spoiler: |
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| Autor: | santhiago [ 01 dez 2013, 16:11 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Polinômios: x⁸ + 3x⁴ - 4 |
Designamos o produtos destes 5 polinômios por \(p(x)\) . Tomando-se \(y = x^4\),podemos determinar todas raízes de \(p\) (reais e complexas ) e fatorar o mesmo obtendo \(p(x) = x^8 + 3x^4 - 4 = (x^2-2x+2)(x^2+2x+2)(x-1)(x+1)(x^2+1)\) .Daí os polinômios \(f_i\) (1=1,...,5) estarão determinados . |
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