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Olá!Essa questão tá me tirando o sono.

Se p,q e r são raízes da equação 8x^3+1001x+2008=0,então o valor da expressão (p+q)^3 +(p+r)^3 +(q+r)^3 é :

a)251 b)751 c)735 d)753

Grato pela ajuda.

Numa equação cúbica a soma das raízes dá o coeficiente de grau 2 que neste caso é zero. Logo p+q=-r, q+r=-p, r+p=-q.
Portanto \((p+q)^3+(q+r)^3+(r+p)^3=-r^3-p^3-q^3\). Sendo p,q e r raízes de \({8x^3+1001x+2008=0}\) também temos \(-8p^3=1001p+2008\), \(-8q^3=1001q+2008\) e \(-8r^3=1001r+2008\). Logo...

Penso que agora já consegue concluir.

1° Solução alternativa:

"Pegando carona na resposta do Rui Carpentier :

\((p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3\equiv -p^3-q^3-r^3 \equiv -(p^3+q^3+r^3) \equiv -S_{3}\)


Obs: \(S_{k}\equiv p^k+q^k+r^k\) , isso se chama " Somas de Newton ".Agora Usando o "Teorema de Newton " no polinômio , podemos dizer que:


\(8S_{3}+1001S_{1}+2008S_{0}\equiv 0\)



\(S_{0} \equiv p^0+q^0+r^0 \equiv 3\)

\(S_{1} \equiv p+q+r \equiv -\frac{b}{a} \equiv 0\)


então :


\(8S_{3}+6024\equiv 0\)


\(8S_{3}\equiv -6024\)


\(S_{3} \equiv -753\)



então a resposta é :


\((p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3 \equiv -p^3-q^3-r^3 \equiv -(p^3+q^3+r^3)\equiv -S_{3} \equiv -(-753) \equiv \fbox{\fbox{\fbox{753}}}\)





2° Solução Alternativa :


Sabendo que : \((a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)*(b+c)*(a+c)\)


tome \(a=p+q\) , \(b=p+r\) e \(c=q+r\) , segue que o produto notável fica:


\((2(p+q+r))^3=(p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3+3(p+q+p+r)*(p+r+q+r)*(p+q+q+r)\)


\(8*(p+q+r)^3=(p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3+3(p+q+r+p)*(p+q+r+r)*(p+q+r+q)\)



usando a relação de girard: \(p+q+r=-\frac{b}{a}=0\) :


\(0=(p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3+3(0+p)*(0+r)*(0+q)\)


\(0=(p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3+3p*q*r\)



pelas relações de girard novamente : \(p*q*r=-\frac{d}{a}=-251\) :


\(0=(p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3+3(-251)\)


\(0=(p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3-753\)



\((p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3=\fbox{\fbox{\fbox{753}}}\)