P(x) e P(-x) têm raízes simétricas

[Argolo]

Demonstrar o teorema:
Se o número real r é raiz, com multiplicidade m, da equação algébrica P(x) = 0, então -r é raiz, também com multiplicidade m, da equação algébrica P(-x) = 0.

[josesousa]

Se r é raíz de P(x) com mult m, \(P(x) = (x-r)^m.Q(x)\)
\(P(-x) = (-x-r)^m.Q(-x) = (-1)^m.(x+r)^m.Q(-x))\)

Tendo o termo \((x+r)^m=(x-(-r))^m\), logo -r é raíz de P(-x), com mult. algébrica m

[Argolo]

Caro José Souza,

Creio que ficou faltando mostrar que:
Se r não é raiz de Q(x), então (-r) não é raiz de Q(-x).

Você concorda?
Muito obrigado pela atenção.

[josesousa]

Não está "se e só se", mas em todo o caso, p<=>q pode ser provado vendo que p=>q (feito) e que q=>p (o mesmo raciocínio, mas com r'=-r)