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| P(x) e P(-x) têm raízes simétricas https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=73&t=427 |
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| Autor: | Argolo [ 01 jun 2012, 16:40 ] |
| Título da Pergunta: | P(x) e P(-x) têm raízes simétricas |
Demonstrar o teorema: Se o número real r é raiz, com multiplicidade m, da equação algébrica P(x) = 0, então -r é raiz, também com multiplicidade m, da equação algébrica P(-x) = 0. |
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| Autor: | josesousa [ 01 jun 2012, 17:22 ] |
| Título da Pergunta: | Re: P(x) e P(-x) têm raízes simétricas |
Se r é raíz de P(x) com mult m, \(P(x) = (x-r)^m.Q(x)\) \(P(-x) = (-x-r)^m.Q(-x) = (-1)^m.(x+r)^m.Q(-x))\) Tendo o termo \((x+r)^m=(x-(-r))^m\), logo -r é raíz de P(-x), com mult. algébrica m |
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| Autor: | Argolo [ 01 jun 2012, 18:05 ] |
| Título da Pergunta: | Re: P(x) e P(-x) têm raízes simétricas |
Caro José Souza, Creio que ficou faltando mostrar que: Se r não é raiz de Q(x), então (-r) não é raiz de Q(-x). Você concorda? Muito obrigado pela atenção. |
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| Autor: | josesousa [ 02 jun 2012, 00:24 ] |
| Título da Pergunta: | Re: P(x) e P(-x) têm raízes simétricas |
Não está "se e só se", mas em todo o caso, p<=>q pode ser provado vendo que p=>q (feito) e que q=>p (o mesmo raciocínio, mas com r'=-r) |
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