Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Bom dia pessoal.
Me deparei com uma questão na qual desenvolvo algum raciocínio, mas não o suficiente para respondê-la.

Segue:
(UFU - 2006) Seja q(x) um polinômio com coeficientes reais, cujo coeficiente dominante (coeficiente da variável x que apresenta o maior expoente) é igual a 1 e que tem o número complexo i e o número real a como raízes. Se o polinômio p(x) = q(x)x + x² + 1 tem grau 4, determine todos os valores de a tais que p(x) não possua raízes reais.

Sei que se i é raiz, o conjugado também, então com base no enunciado consigo escrever q(x)=(x-a)(x-i)(x+i).
Substituindo em p(x), temos
p(x) = (x-a)(x-i)(x+i)x + x² + 1 = (x-a)(x²+1)x + x² + 1 = (x³+x-ax²-a)x+ x² + 1 = x^4+x²-ax³-ax+ x² + 1...
como tenho que avaliar os possiveis valores de a, pensei que chegaria a uma equação de grau 4 em que pudesse fazer x²=t para ter assim uma equação de grau 2 e desenvolver as contas... mas enfim, nao estou conseguindo... talvez não seja esse o caminho... talvez seja mais simples do que eu possa ter imaginado.


Obrigado a todos!

Aproveitando o que fez:

\(p(x) = (x-a)(x-i)(x+i)x + x^2 + 1 = (x-a)(x^2+1)x + x^2 + 1\)
\(=(x^2+1)\[(x-a)x +1\]=\)
\(=(x^2+1)\[x^2-ax +1\]=\)

como \(x^2+1\) tem raízes imaginárias, só tem de estudar
\(x^2-ax +1\)

_________________
José Sousa
_{se gostou da resposta, divulgue o fórumdematemática.org}

O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928