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| Minimo quadrado polinomial https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=73&t=4784 |
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| Autor: | Dante003 [ 14 jan 2014, 16:55 ] |
| Título da Pergunta: | Minimo quadrado polinomial |
Eu estou tentando encontrar o "a" e "b" que minimizam essa equação yhat(k+1) = ay(k) + bu(k) Usando o método dos mínimos quadrados tem-se essa equação \(\sum_{k=1}^{N} \left [ y(k+1) - ay(k) -bu(k) \right ]^2\) Para encontrar os valores de a e b tem-se as seguintes equações \(\frac{\partial }{\partial a}J(a,b) = -2\sum_{k=1}^{N} y(k)\left [ y(k+1) - ay(k) -bu(k) \right ] = 0\) \(\frac{\partial }{\partial b}J(a,b) = -2\sum_{k=1}^{N} u(k)\left [ y(k+1) - ay(k) -bu(k) \right ] = 0\) Eu sei que a resposta correta é essa de baixo, mas não estou conseguindo manipular as equações para chegar a isso \(a = \frac{\sum_{k=1}^{N}u^2(k) \sum_{k=1}^{N}y(k)y(k+1) - \sum_{k=1}^{N}u(k)y(k) \sum_{k=1}^{N}u(k)y(k+1)}{\sum_{k=1}^{N}y^2(k) \sum_{k=1}^{N}u^2(k) - (\sum_{k=1}^{N}u(k)y(k))^2}\) \(b = \frac{\sum_{k=1}^{N}y^2(k) \sum_{k=1}^{N}u(k)y(k+1) - \sum_{k=1}^{N}u(k)y(k) \sum_{k=1}^{N}y(k)y(k+1)}{\sum_{k=1}^{N}y^2(k) \sum_{k=1}^{N}u^2(k) - (\sum_{k=1}^{N}u(k)y(k))^2}\) |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 14 jan 2014, 18:57 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Minimo quadrado polinomial |
partindo do princípio que tem os seus cálculos corretos pode igualar os somatórios \(-2\sum_{k=1}^{N} y(k)\left [ y(k+1) - ay(k) -bu(k) \right ]=-2\sum_{k=1}^{N} u(k)\left [ y(k+1) - ay(k) -bu(k) \right ]\) \(\sum_{k=1}^{N} y(k)\left [ y(k+1) - ay(k) -bu(k) \right ]=\sum_{k=1}^{N} u(k)\left [ y(k+1) - ay(k) -bu(k) \right ]\) \(\sum_{k=1}^{N} y(k)\left [ y(k+1) - ay(k) -bu(k) \right ]-\sum_{k=1}^{N} u(k)\left [ y(k+1) - ay(k) -bu(k) \right ]=0\) \(\sum_{k=1}^{N} \left(y(k)\left [ y(k+1) - ay(k) -bu(k) \right ]-u(k)\left [ y(k+1) - ay(k) -bu(k) \right ]\right)=0\) \(\sum_{k=1}^{N} \left(y(k) y(k+1) - ay^2(k) -b.y(k)u(k) -u(k) y(k+1) + a .u(k)y(k) -b.u^2(k) \right)=0\) \(\sum_{k=1}^{N} \left(y(k) y(k+1) -b.y(k)u(k) -u(k) y(k+1) -b.u^2(k) + a(u(k)y(k) - y^2(k)) \right)=0\) \(\sum_{k=1}^{N} \left(y(k) y(k+1) -b.y(k)u(k) -u(k) y(k+1) -b.u^2(k)\right) + a\sum_{k=1}^{N}(u(k)y(k) - y^2(k)) =0\) avance, agora é fácil colocar o \(a\) em evidência para o \(b\) é semelhante |
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