Olá!Essa questão tá me tirando o sono.
Se p,q e r são raízes da equação 8x^3+1001x+2008=0,então o valor da expressão (p+q)^3 +(p+r)^3 +(q+r)^3 é :
a)251 b)751 c)735 d)753
Grato pela ajuda.
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| Autor: | jomatlove [ 07 mar 2014, 01:57 ] |
| Título da Pergunta: | Equação polinomial |
Olá!Essa questão tá me tirando o sono. Se p,q e r são raízes da equação 8x^3+1001x+2008=0,então o valor da expressão (p+q)^3 +(p+r)^3 +(q+r)^3 é : a)251 b)751 c)735 d)753 Grato pela ajuda.
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| Autor: | Rui Carpentier [ 07 mar 2014, 20:20 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Equação polinomial |
Numa equação cúbica a soma das raízes dá o coeficiente de grau 2 que neste caso é zero. Logo p+q=-r, q+r=-p, r+p=-q. Portanto \((p+q)^3+(q+r)^3+(r+p)^3=-r^3-p^3-q^3\). Sendo p,q e r raízes de \({8x^3+1001x+2008=0}\) também temos \(-8p^3=1001p+2008\), \(-8q^3=1001q+2008\) e \(-8r^3=1001r+2008\). Logo... Penso que agora já consegue concluir. |
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| Autor: | Man Utd [ 08 mar 2014, 18:40 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Equação polinomial [resolvida] |
1° Solução alternativa: "Pegando carona na resposta do Rui Carpentier : \((p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3\equiv -p^3-q^3-r^3 \equiv -(p^3+q^3+r^3) \equiv -S_{3}\) Obs: \(S_{k}\equiv p^k+q^k+r^k\) , isso se chama " Somas de Newton ".Agora Usando o "Teorema de Newton " no polinômio , podemos dizer que: \(8S_{3}+1001S_{1}+2008S_{0}\equiv 0\) \(S_{0} \equiv p^0+q^0+r^0 \equiv 3\) \(S_{1} \equiv p+q+r \equiv -\frac{b}{a} \equiv 0\) então : \(8S_{3}+6024\equiv 0\) \(8S_{3}\equiv -6024\) \(S_{3} \equiv -753\) então a resposta é : \((p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3 \equiv -p^3-q^3-r^3 \equiv -(p^3+q^3+r^3)\equiv -S_{3} \equiv -(-753) \equiv \fbox{\fbox{\fbox{753}}}\) 2° Solução Alternativa : Sabendo que : \((a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)*(b+c)*(a+c)\) tome \(a=p+q\) , \(b=p+r\) e \(c=q+r\) , segue que o produto notável fica: \((2(p+q+r))^3=(p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3+3(p+q+p+r)*(p+r+q+r)*(p+q+q+r)\) \(8*(p+q+r)^3=(p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3+3(p+q+r+p)*(p+q+r+r)*(p+q+r+q)\) usando a relação de girard: \(p+q+r=-\frac{b}{a}=0\) : \(0=(p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3+3(0+p)*(0+r)*(0+q)\) \(0=(p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3+3p*q*r\) pelas relações de girard novamente : \(p*q*r=-\frac{d}{a}=-251\) : \(0=(p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3+3(-251)\) \(0=(p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3-753\) \((p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3=\fbox{\fbox{\fbox{753}}}\) |
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