Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Por onde começar?

Se \(x^{3}(3x+1)^{3}-(6x+1)^{2}-15=0\) ,achar a soma das raízes reais .

a)1/3 b)-1/3 c)4/3 d)7/3 e)-4/3

Alguém tem ideia ????

Vou indicar a sequência de passos que me ocorreram... Apesar de a posteriori não parecer muito "elegante", parece-me mais instrutiva...

Em primeiro lugar, a soma de todas as raízes (reais ou não), será \(-a_4 / a_5 = - 27 / 27 = -1\). Isto não responde à questão por que existem raízes complexas.

Usando a regra dos sinais de Descartes concluímos que o polinómio tem apenas uma raiz positiva que, por inspeção de raízes inteiras, se conclui ser x=1. Relativamente às raízes negativas, a regra dos sinais não é muito conclusiva já que apenas permite concluir que o número de raízes negativas será 5, 3 ou 1.

Continuando, se procurarmos soluções racionais, digamos na forma p/q (p e q primos entre si) concluímos que p deve ser divisor de \(a_0 =-16\) e q deve ser divisor de \(a_5 = 27\). Sabendo que esta raiz será negativa, experimentando as diversas possibilidades, vemos que x = -4/3 é raiz do polinómio.

Assim, até agora, sabendo que x=1 e x=-4/3 são raízes, pelo que podemos escrever

\(p(x)=(x-1) (3 x+4)( 9 x^4+6 x^3+13 x^2+4 x+4)\)

Chegados aqui podemos estudar apenas o polinômio \(q(x)= 9 x^4+6 x^3+13 x^2+4 x+4\). Usando a fórmula resolvente para polinómios de grau 4, ou outro processo, podemos ver que q(x) não tem raízes reais, pelo que a resposta à questão é 1-4/3 = -1/3.

Olá! Tem uma solução mais curta e elegante para essa questão. Tente acompanha as transformações:

\(x^{3}(3x+1)^{3}-(6x+1)^{2}-15=0\rightarrow [x(3x+1)]^{3}-[(6x+1)^{2}-1]-16=0\rightarrow [3x^{2}+x]^{3}-[(6x+2)(6x)]-16=0 \rightarrow [3x^{2}+x]^{3}-12(3x^{2}+x)-16=0\)

Agora, fazendo a mudança de variável: \(3x^{2}+x=p\) ,resulta \(p^{3}-12p-16=0\) .

As possíveis raízes inteiras dessa ultima equação pertecem ao conjunto \(\left \{ \right.\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 8,\pm 16\left. \right \}\)

Usando qualquer método chegamos à raiz 4. Então, \(p^{3}-12p-16=0\) \(\rightarrow (P-4)(P^{2}+4P+4)=0\rightarrow (P-4)(P+2)^{2}=0\rightarrow P=4\vee P=-2\)

Agora, voltamos para a variável original, obtendo assim duas equações do 2º grau em x.

\(3x^{2}+x=4\vee 3x^{2}+x=-2\)

Vemos que a 1º equação tem raízes reais cuja soma vale -1/3.Equanto que a segunda equação não tem raízes reais.