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| Autor: | engenharia [ 23 mar 2014, 22:51 ] |
| Título da Pergunta: | Método Minimos Quadrados |
Boa noite, gostaria da ajuda de vocês para solucionar um problema? Preciso achar o polinomio de 2º grau para a seguinte tabela, via mínimos quadrados. x 0,78 1,56 2,34 3,12 3,81 y 2,5 1,2 1,12 2,25 4,28 Já achei os valores: 7,72,2,81 e 0,91, porém gostaria de confirmar se estou fazendo certo. Obrigado. |
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| Autor: | Sobolev [ 24 mar 2014, 12:46 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Método Minimos Quadrados |
Não sei que números são esses que referiu no final, mas a aproximação de mínimos quadrados dos dados no espaço os polinómios de graus menor oun igual a 2 é dada por \(1.00234 t^2-4.01426 t+5.02215\). |
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| Autor: | engenharia [ 24 mar 2014, 13:43 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Método Minimos Quadrados |
Fiz pelo método de multiplicação das Matrizes. Xt x X = Xt x Y Nesse caso não seria desse jeito? Obrigado. |
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| Autor: | Sobolev [ 24 mar 2014, 21:10 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Método Minimos Quadrados |
Desconheço o método que refere... O método dos mínimos quadrados consiste em determinar o minimizante global das somas quadráticas das diferenças entre os dados e a função aproximadora. É um problema de minimização de uma função convexa em \(\mathbb{R}^n\) e o método que conheço consiste simplesmente em resolver um sistema linear para determinar o único ponto crítico dessa função, que vai ser o minimizante global. No caso da aproximação por polinómios de grau menor ou igual que dois é um simples sistema 3x3 que leva à determinação dos coeficientes do polinómio aproximado. Concretamente no caso de dados \((x_i,y_i), i = 1, \cdots m\) o sistema a resolver é \(\left(\begin{array}{ccc} m & \sum x_i & \sum x_i^2\\ \sum x_i & \sum x_i^2 & \sum x_i^3\\ \sum x_i^2 & \sum x_i^3 & \sum x_i^4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} a\\ b\\ b\end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} \sum y_i \\ \sum x_i y_i \\ \sum x_i^2 y_i\end{array}\right)\) Sendo o polinómio aproximado dado por \(a + b x + c x^2\). |
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| Autor: | engenharia [ 24 mar 2014, 21:41 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Método Minimos Quadrados |
Então, não seria a multiplicação da (Matriz Transposta X vezes a Matriz X)^-1, o resultado desse valor multiplicar pela Matriz Transposta X e por final multiplico esse resultado de (Xt x X)^-1 x Xt pela Matriz Y, ai encontro os valores de a0, a1 e a2? Obrigado pela ajuda. |
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| Autor: | Sobolev [ 25 mar 2014, 11:44 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Método Minimos Quadrados |
O modo concreto que escolha para resolver o sistema é irrelevante. A solução do sistema corresponde aos coeficientes do polinómio de grau 2. Neste caso o sistema é \(\left( \begin{array}{ccc} 5 & 11.61 & 32.7681 \\ 11.61 & 32.7681 & 102.762 \\ 32.7681 & 102.762 & 341.75 \\ \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} a\\b\\c \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 11.35 \\ 29.7696 \\ 94.6053 \\ \end{array} \right)\) Cuja solução é (a,b,c) = (5.02215, -4.01426, 1.00234). |
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| Autor: | engenharia [ 25 mar 2014, 15:06 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Método Minimos Quadrados |
Entendi, mas como vc chega nesses resultados? Você eleva a primeira matriz à -1? Pois cheguei nesses mesmos valores, mas elevando a -1 meu resultado é a0 7,72 a1 2,81 e a2 0,91. Obrigado. |
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| Autor: | Sobolev [ 25 mar 2014, 15:39 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Método Minimos Quadrados |
\(\left( \begin{array}{ccc} 5 & 11.61 & 32.7681 \\ 11.61 & 32.7681 & 102.762 \\ 32.7681 & 102.762 & 341.75 \\ \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} a\\b\\c \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 11.35 \\ 29.7696 \\ 94.6053 \\ \end{array} \right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{c} a\\b\\c \end{array}\right) = \left( \begin{array}{ccc} 5 & 11.61 & 32.7681 \\ 11.61 & 32.7681 & 102.762 \\ 32.7681 & 102.762 & 341.75 \\ \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{c} 11.35 \\ 29.7696 \\ 94.6053 \\ \end{array} \right)\Leftrightarrow \left(\begin{array}{c} a\\b\\c \end{array}\right) = \left( \begin{array}{ccc} 4.85041 & -4.56058 & 0.906258 \\ -4.56058 & 4.82325 & -1.01303 \\ 0.906258 & -1.01303 & 0.220641 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 11.35 \\ 29.7696 \\ 94.6053 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5.02215 \\ -4.01426 \\ 1.00234 \\ \end{array} \right)\) |
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| Autor: | engenharia [ 25 mar 2014, 16:29 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Método Minimos Quadrados |
Ah perfeito, estava multiplicando errado, agora meus valores batem. Muito obrigado pela ajuda. Para uma y= a0x ^ a1, o procedimento é parecido? |
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