Resto polinomial

[BrenoNaval]

Pergunta.:Seja p(x) um polinômio de grau 4 com coeficientes reais.Na divisão de p(x) por x-2 obtém-se um quociente q(x) e o resto igual a 26.Na divisão de p(x) por x²+x-1 obtém-se um quociente h(x) e resto 8x-5.Sabe-se que q(0)=13 e q(1)=26.Então,h(2)+h(3) é igual a:

Estou postando essa pergunta,nem é pelo fato de querer saber a resposta e sim para descobrir uma maneira mais fácil de resolver.Eu resolvi essa questão da seguinte forma.:
1°:\(P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx^1+e\)
2°:Efetuei \(\frac{ax^4+bx^3+cx^2+dx^1+e}{x-2}\) encontrando seu quociente q(x) e seu resto
3°:Efetuei \(\frac{ax^4+bx^3+cx^2+dx^1+e}{x^2+x-1}\) encontrando seu quociente h(x) e seu resto

Depois de uma folha de conta,encontramos os tais valores:
\(g(x)=ax^3+(2a+b)x^2+(4a+2b+c)x+8a+4b+2c+d\)
\(1resto=16a+8b+4c+2d+e\)
\(h(x)=ax^2+(b-a)x+(2a+c-b)\)
\(2resto=(2b+d-c-3a)x+2a+c+e-b\)

caindo assim sobre um sistema:
\(16a+8b+4c+2d+e=26\)
\(2b+d-c-3a=8\)
\(2a+c+e-b=-5\)
\(8a+4b+2c+d=13\)
\(15a+7b+3c+d=26\)

Encontramos que.: \(a=2,b=2,c=-7,d=3,e=0\)

Substituindo os valores.:
\(P(x)=2x^4+2x^3-7x+3\)
\(g(x)=2x^3+6x^2+5x+13\)
\(1resto=26\)
\(h(x)=2x^2-5\)
\(2resto=8x-5\)

Logo.:\(h(2)=3,h(3)=13\) => \(h(2)+h(3)=16\) Resposta=\(16\)

Obs.:Percebam que mesmo resumindo minha resolução,ainda continua de forma grande.Espero que alguém encontre uma maneira mais prática para esse tipo de exercício.

[Rui Carpentier]

É possível reduzir um pouco o número de variáveis.
Das condições dadas p(x)=q(x)(x-2)+26 , q(0)=13 e q(1)=26 tira-se que p(2)=26, p(0)=0 e p(1)=0.
Assim sendo, substituindo na condição p(x)=h(x)(x^2+x-1)+8x-5 o x por 2, 0 ou 1 tira-se que h(2)=3, h(0)=-5 e h(1)=-3.
Como p tem grau 4 temos que h tem grau 2, logo h(x)=ax^2+bx+c. Agora é seguir o mesmo caminho que seguiu mas com apenas 3 variáveis: 4a+2b+c=3 , c=-5 e a+b+c=-3 para determinar h(3)=9a+3b+c=3(4a+2b+c)-3(a+b+c)+c=9+9-5=13.
E voilá, h(2)+h(3)=3+13=16.