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Dada a equação algébrica de 4º grau e de coeficientes reais, encontre a soma das raízes complexas não reais da equação
\(x^{4} - 4x^{3} + 5x^{2} - 4x + 1 = 0\)

Oi, bom dia,

Você digitou:

Código:

[tex]x^{4} - 4x^{3} + 5x^{2} - 4x + 1 = 0[/tex]

E está correto, mas parece haver um bug no formator. Então se digitar:

Código:

x^{4} - 4x^{3} + 5x^{2} - 4x + 1 = {0}

A visualização ficará assim:

\(x^{4} - 4x^{3} + 5x^{2} - 4x + 1 = {0}\)

Obrigado. Posso continuar usando dessa forma das próximas vezes? O que é, ou como faço para retirar o bug?

E quanto à soma das raízes complexas:

A rigor todas as 4 raízes são complexas e a soma poderia ser obtida por Girard: \(S = (-1)^3 \times \frac{a_1}{a_4} = 4\)

Mas imagino que o questionador esteja querendo que separe as raízes reais das estritamente complexas, daí vai a minha sugestão:

Se fatorarmos \(x^{4} - 4x^{3} + 5x^{2} - 4x + 1 = {0}\) obteremos: \((x^2-x+1)\times(x^2-3x+1)\)

e daí para obter as raízes você pode aplicar a fórmula da equação do 2o. grau em ambos os fatores que encontrará as 4 raízes e poderá responder.

Caro colaborador, fiquei em dúvida de como fatorar o polinômio dado.

Autor:	Fernando Magalhães [ 07 dez 2014, 10:28 ]
Título da Pergunta:	Encontrar a soma das raízes complexas de uma equação
Dada a equação algébrica de 4º grau e de coeficientes reais, encontre a soma das raízes complexas não reais da equação \(x^{4} - 4x^{3} + 5x^{2} - 4x + 1 = 0\)

Autor:	Fernando Magalhães [ 07 dez 2014, 10:39 ]
Título da Pergunta:	Re: Encontrar a soma das raízes complexas de uma equação
Fernando Magalhães Escreveu: Dada a equação algébrica de 4º grau e de coeficientes reais, encontre a soma das raízes complexas não reais da equação \(x^{4} - 4x^{3} + 5x^{2} - 4x + 1 = 0\) Usei o editor de equações, não sei se corretamente, pois a equação não aparece. Alguém pode me ajudar? Agardeço

Autor:	Fraol [ 07 dez 2014, 12:08 ]
Título da Pergunta:	Re: Encontrar a soma das raízes complexas de uma equação
Oi, bom dia, Você digitou: Código: [tex]x^{4} - 4x^{3} + 5x^{2} - 4x + 1 = 0[/tex] E está correto, mas parece haver um bug no formator. Então se digitar: Código: x^{4} - 4x^{3} + 5x^{2} - 4x + 1 = {0} A visualização ficará assim: \(x^{4} - 4x^{3} + 5x^{2} - 4x + 1 = {0}\)

Autor:	Fraol [ 07 dez 2014, 12:32 ]
Título da Pergunta:	Re: Encontrar a soma das raízes complexas de uma equação
E quanto à soma das raízes complexas: A rigor todas as 4 raízes são complexas e a soma poderia ser obtida por Girard: \(S = (-1)^3 \times \frac{a_1}{a_4} = 4\) Mas imagino que o questionador esteja querendo que separe as raízes reais das estritamente complexas, daí vai a minha sugestão: Se fatorarmos \(x^{4} - 4x^{3} + 5x^{2} - 4x + 1 = {0}\) obteremos: \((x^2-x+1)\times(x^2-3x+1)\) e daí para obter as raízes você pode aplicar a fórmula da equação do 2o. grau em ambos os fatores que encontrará as 4 raízes e poderá responder.

Autor:	Fernando Magalhães [ 07 dez 2014, 14:01 ]
Título da Pergunta:	Re: Encontrar a soma das raízes complexas de uma equação
fraol Escreveu: Oi, bom dia, Você digitou: Código: [tex]x^{4} - 4x^{3} + 5x^{2} - 4x + 1 = 0[/tex] E está correto, mas parece haver um bug no formator. Então se digitar: Código: x^{4} - 4x^{3} + 5x^{2} - 4x + 1 = {0} A visualização ficará assim: \(x^{4} - 4x^{3} + 5x^{2} - 4x + 1 = {0}\) Obrigado. Posso continuar usando dessa forma das próximas vezes? O que é, ou como faço para retirar o bug?

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Encontrar a soma das raízes complexas de uma equação https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=73&t=7543	Página 1 de 1

Autor:	Fraol [ 07 dez 2014, 14:23 ]
Título da Pergunta:	Re: Encontrar a soma das raízes complexas de uma equação
Fernando Magalhães Escreveu: Obrigado. Posso continuar usando dessa forma das próximas vezes? O que é, ou como faço para retirar o bug? A forma que encontrei de evitar o tal bug foi usar as {} quando tenho termos simples como a ou 5 ou x, então coloco como *{a}* ou *{5}* ou *{x}* e clico em *prever* . Veja que no caso da sua equação a única coisa que fiz foi envolver o 0 final com {}.

Autor:	Fernando Magalhães [ 10 dez 2014, 12:24 ]
Título da Pergunta:	Re: Encontrar a soma das raízes complexas de uma equação
fraol Escreveu: E quanto à soma das raízes complexas: A rigor todas as 4 raízes são complexas e a soma poderia ser obtida por Girard: \(S = (-1)^3 \times \frac{a_1}{a_4} = 4\) Mas imagino que o questionador esteja querendo que separe as raízes reais das estritamente complexas, daí vai a minha sugestão: Se fatorarmos \(x^{4} - 4x^{3} + 5x^{2} - 4x + 1 = {0}\) obteremos: \((x^2-x+1)\times(x^2-3x+1)\) e daí para obter as raízes você pode aplicar a fórmula da equação do 2o. grau em ambos os fatores que encontrará as 4 raízes e poderá responder. Caro colaborador, fiquei em dúvida de como fatorar o polinômio dado. Obrigado

Autor:	Fraol [ 10 dez 2014, 12:48 ]
Título da Pergunta:	Re: Encontrar a soma das raízes complexas de uma equação [resolvida]
Bom dia, Fernando Magalhães Escreveu: Caro colaborador, fiquei em dúvida de como fatorar o polinômio dado. É, eu também fico em dúvida, na maior parte das vezes. Não sei se há uma técnica especial para isso. Deve existir, como não conheço, uso o seguinte método: Para fatorar \(x^{4} - 4x^{3} + 5x^{2} - 4x + 1 = {0}\) em dois fatores: Verifico o termo de maior grau e o de menor grau. No nosso caso \(x^4 = x^2 \cdot x^2\) e \(1 = 1 \cdot 1\) respectivamente, então abro o produto de dois fatores assim: \((x^2 \left ( ... \right ) +1)\cdot(x^2 \left ( ... \right )+1)\) com isso eu tenho uma possível parte da fatoração. Agora eu olho para o termo grau 1, no nosso caso aí em cima, eu devo obter \(-4x\) quando multiplicar pelo da esquerda e pelo 1 da direita. Um candidato seria \(-2x\), mas não deu certo, então eu tentei \(-x\) e \(-3x\), assim: \((x^2 -x +1)\cdot(x^2 -3x +1)\) E, por sorte, ficou tudo beleza! Basicamente eu suponho (chuto) e verifico se é consistente. A prática vai ajudando a escolher melhor os caminhos. Muitas vezes fico enrolado - aí parto para outras alternativas como verificar algumas raízes possíveis, etc...

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