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| Mostre que f(x) = x^2+bx+c ∈ R[x] é irredutível se, e somente se, b^2 − 4c < 0. https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=73&t=9713 |
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| Autor: | NiGoRi [ 21 Oct 2015, 00:10 ] |
| Título da Pergunta: | Mostre que f(x) = x^2+bx+c ∈ R[x] é irredutível se, e somente se, b^2 − 4c < 0. |
Pessoal. Tudo bem? Ao tentar resolver alguns exercícios em casa, me deparei com essa questão que não estou conseguindo resolver. Gostaria de saber se vocês podem me ajudar. Mostre que \(f(x)=x^{2}+bx+c \in \mathbb{R}[x]\) é irredutível se, e somente se, \(b^{2}-4c< 0\). NiGoRi |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 22 Oct 2015, 22:19 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Mostre que f(x) = x^2+bx+c ∈ R[x] é irredutível se, e somente se, b^2 − 4c < 0. |
Um polinómio real \(f(x)\in \mathbb{R}[x]\) quadrático (i.e. de grau 2) é irredutível se e só se não tiver zeros: Se \(f(x)\) tiver um zero \(z_0\) então \(x-z_0\) divide \(f(x)\), logo \(f(x)\) não é irredutível. Por outro lado, se \(f(x)\) não for irredutível então divide-se em dois polinómios de grau um que têm necessariamente zeros que serão também zeros de \(f(x)\). Tendo isto em mente, \(f(x)=x^2+bx+c\) é irredutível (aka não tem zeros) se e só se o discriminante \(b^2-4c\) for negativo. ----------------------------------- Note-se que \(f(x)=x^2+bx+c=\left(x+\frac{b}{2}\right)^2-\frac{b^2-4c}{4}=0 \Rightarrow b^2-4c = 4\left(x+\frac{b}{2}\right)^2\geq 0\) |
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