Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Uma dívida de $90.000,00 vencível em 60 dias foi renegociada a uma taxa de 2,1% ao mês 48 dias após ter sido contratada. O devedor propõe pagar 25% do valor atual da dívida 1 mês após a data de vencimento original, $30.000,00 daí a 60 dias e mais uma parcela daí a 90 dias. Calcular o valor correto dessa parcela. (Desconto racional)

i=2,1% ao mês
Nesse exercício consegui apenas encontrar o valor atual da dívida: PV=90000/1+(0,021/30*12) então PV48d=89250,29.


desde já agradeço a atenção

Lucas,

Não ficou claro para mim se:

1º a taxa após renegociação é a mesma de antes (geralmente é maior), e;
2º se a renegociação se dará em 3 parcelas mensais e sucessivas.

Supondo que a resposta seja positiva para ambas, após achar o PV (conforme você fez corretamente) basta capitalizar o saldo e deduzir os valores informados nas datas definidas. Para facilitar o entendimento, você pode traçar uma linha representando o fluxo de caixa com quatro pontos, \(t_0, t_1, t_2\) e \(t_3\), anotando as entradas positivas (juros) em cima e as entradas negativas (pagamentos das parcelas) em baixo.

Em \(t_0\), o saldo será o PV já encontrado. A passagem de \(t_0\) para \(t_1\) gera juros. Portanto, capitalize para achar o saldo em \(t_1\). Desse novo saldo, \(FV_1\), deduza o valor que o enunciado solicitou, 25% de \(FV_1\). Repita o procedimento para as próximas parcelas (\(FV_2\) e \(FV_3\)) que terá sua resposta!

Consegue resolver dai?

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Alberson Miranda

Acredito que a taxa deva ser a mesma, mas a renegociação ocorrerá em intervalos de tempo diferentes. Fiz o seguinte:

Primeiro, descobri o valor que deve ser pago,que é 90000 jogado de 60 dias após a contratação da dívida para 240 dias após a contratação da dívida.
Dessa maneira descobri que o valor total da dívida na data 240 dias é de 101340,00.

Depois, achei as parcelas em suas respectivas datas.
1º parcela - FV90dias=89250,29(1+0,021/30*42)=91874,24 e como ele quer apenas 25% desse valor->22968,56

2º parcela - 30000

Depois, para descobrir a 3º parcela, joguei as duas já encontradas pra data da última parcela a ser paga. Ficaram:
1º parcela -> FV1=22968,56(1+0,021/30*150)=25380,25 na data 240d
2ºparcela -> FV2=30000(1+0,021/30*90)=31890,00 na data 240d

Então somei as duas, e diminui do montante da dívida na data 240 dias, que era 101340,00, ficando a 3º parcela em 44069,75.

O que acha?

Esse raciocínio não funciona porque:

1 - Se trata de duas operações distintas - aquela inicial, prevista para 60 dias e o desconto no momento da renegociação -, mas você misturou as duas. Você utilizou duas vezes como valor presente o valor inicial de 90 mil, mas esse valor deixou de existir quando foi renegociado no enunciado. Você deverá utilizar como PV na segunda operação os 89.250,30.
2 - Se capitalizar o PV para o prazo final, não estará considerando as reduções no saldo. Seria como se esse montante PV estivesse parado esse tempo todo, ignorando os pagamentos.

O desconto racional só está envolvido na primeira operação, que você já resolveu. Na segunda operação, a renegociação, começamos do zero de novo.

Primeira parcela:
Em \(t_0\), temos 89.250,30. Esse valor será a base de cálculo para o pagamento da primeira parcela, em \(t_1\), 30 dias depois. Então você irá capitalizar os juros através da fórmula de capitalização simples \(FV_1=PV_1(1+in)\). Portanto, em \(t_1\) o saldo será \(FV_1\). Desse saldo, deduza a primeira parcela, que é \(0,25FV_1\).

Segunda parcela:
Como você deduziu 25% do saldo, o PV para o cálculo da segunda parcela em \(t_2\) será \(PV_2=0,75FV_1\). Na passagem de \(t_1\) para \(t_2\) capitalize novamente os juros (tempo é dinheiro!).
\(FV_2=PV_2(1+in)\). Desse novo saldo, deduza o que o enunciado pediu. Você terá o valor presente para a terceira parcela.


No final da história, o saldo tem que ser zero, porque só assim ele terá pago o contrato inteiro. Com isso quero dizer que a última parcela deve ser \(FV_3\). Daí só finalizar!

Obs.¹: desenhar o fluxo de caixa é muito útil nesse aprendizado.
Obs.²: verifique com seu professor a questão do período das prestações, geralmente elas são sucessivas. Acredito que se darão a cada mês.

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Alberson Miranda