Juros Simples

[danjr5]

Peço-te, encarecidamente, a resolução deste problema.

Amanda, Bianca e Carlos tinham, juntos, R$ 10.000,00. Cada um deles investiu sua parte por um ano, com juros de 10 % ao ano. Depois de creditados seus juros no final desse ano, Carlos passou a ter R$ 1.100,00 mais o dobro do novo capital de Amanda. No ano seguinte, os três reinvestiram seus capitais, ainda com juros de 10% ao ano. Depois de creditados os juros de cada um no final desse segundo ano, o novo capital de Carlos era igual à soma dos novos capitais de Bianca e Amanda. Qual era o capital inicial de Amanda?
a) R$ 2.000,00
b) R$ 2.200,00
c) R$ 2.400,00
d) R$ 2.600,00
e) R$ 2.800,00

Editado pela última vez por danjr5 em 05 jan 2013, 00:07, num total de 1 vez.
Razão: Arrumar Título

[danjr5]

Olá Fjsmat,
boa noite!

INVESTIMENTO I

Amanda:

Capital (P): a
Taxa (i): 10% a.a
Prazo (n): 1 ano
Juros (J): ?

\(\\ J = Pin \\\\ J_a = a \cdot \frac{10}{100} \cdot 1 \\\\ \fbox{J_a = \frac{a}{10}}\)


Bianca:

Capital (P): b
Taxa (i): 10% a.a
Prazo (n): 1 ano
Juros (J): ?

\(\\ J = Pin \\\\ J_b = b \cdot \frac{10}{100} \cdot 1 \\\\ \fbox{J_b = \frac{b}{10}}\)


Carlos:

Capital (P): c
Taxa (i): 10% a.a
Prazo (n): 1 ano
Juros (J): ?

\(\\ J = Pin \\\\ J_c = c \cdot \frac{10}{100} \cdot 1 \\\\ \fbox{J_c = \frac{c}{10}}\)


De acordo com o enunciado, temos:

\(\\ \left ( c + \frac{c}{10} \right ) = 1100 + 2 \cdot \left ( a + \frac{a}{10} \right ) \\\\ 11c = 11000 + 22a \,\,\,\, \div({11} \\\\ \fbox{\fbox{c = 2a + 1000}}\)


INVESTIMENTO II

Nesse investimento, o novo capital da Amanda, assim como os outros, é dado por \(C_a + J_a\).

Amanda:

Capital (P): \(\left ( a + \frac{a}{10} \right )\)
Taxa (i): 10% a.a
Prazo (n): 1 ano
Juros (J): ?

\(\\ J = Pin \\\\ J_a = \frac{11a}{10} \cdot \frac{10}{100} \cdot 1 \\\\ \fbox{J_a = \frac{11a}{100}}\)


Bianca:

\(\fbox{J_b = \frac{11b}{100}}\)


Carlos:

\(\fbox{J_c = \frac{11c}{100}}\)


Do enunciado,...

\(\\ \left ( \frac{11c}{10} + \frac{11c}{100} \right ) = \left ( \frac{11a}{10} + \frac{11a}{100} \right ) + \left ( \frac{11b}{10} + \frac{11b}{100} \right ) \\\\\\ \frac{110c + 11c}{100} = \frac{110a + 11a}{100} + \frac{110b + 11b}{100} \\\\ 121c = 121a + 121b \,\,\,\, \div{(121} \\\\ \fbox{\fbox{c = a + b}}\)


Temos então o sistema:

\(\begin{cases} a + b + c = 10000 \\ c = 2a + 1000 \\ c = a + b \end{cases}\)


\(\begin{cases} a + b + c = 10000 \\ c = 2a + 1000 \\ b = c - a \end{cases}\)


Encontramos o valor de \(a\) substituindo a 1ª e a 2ª equação na 3ª, veja:

\(\\ a + b + c = 10000 \\\\ a + (c - a) + (2a + 1000) = 10000 \\\\ a + c - a + 2a + 1000 = 10000 \\\\ 2a + c = 9000 \\\\ 2a + (2a + 1000) = 9000 \\\\ 4a = 8000 \\\\ \fbox{\fbox{\fbox{\fbox{a = 2.000,00}}}}\)