Progressão aritmética e geométrica pa e pg ;*;*;

[luid123]

As medidas dos lados e um triângulo são expressas por x+1, 2x e x² -5, com x inteiro, e formam, nessa ordem, uma PA. Dessa maneira, o perímetro desse triângulo é um número:
a) múltiplo de 5
b) impar
c) entre 21 e 25
d) divisor de 60
e) menor que 21

[Sobolev]

Tratando-se de uma progressão aritmética de parâmetro K, temos que:

\(2x = x+1 + K \Leftrightarrow x = K+1 \Leftrightarrow K = x-1\)

e também que

\(x^2-5 = 2x + K \Leftrightarrow x^2-5 = 2x+x -1 \Leftrightarrow x = 4 \vee x = -1\).

A solução x=-1 pode ser descartada por não conduzir a medidas admissíveis para os lados de um triângulo, pelo que x = 4 e o triângulo tem lados de medida 5, 8, 11. Tem por isso perímetro 5+8+11 = 24. (opção c)

[professorhelio]

As medidas dos lados e um triângulo são expressas por x+1, 2x e x² -5, com x inteiro, e formam, nessa ordem, uma PA. Dessa maneira, o perímetro desse triângulo é um número:
a) múltiplo de 5
b) impar
c) entre 21 e 25
d) divisor de 60
e) menor que 21

se as expressões formam uma PA, então> 2x - (x + 1) = x² - 5 - 2x
Daí, x² - 3x - 4 = 0
Com isso, x = 4
Assim, (4 + 1) = 5 ; (2.4) = 8 e (4² - 5) = 11, são as medidas dos lados do triângulo. Logo, o perímetro é 5 + 8 + 11 = 24