Capital inicial e duração da operação

[mathstuff]

-Um certo capital esteve investido durante "x" anos vencendo juros compostos,á taxa de juro efectiva anual de 3,5%.
Sabendo que o juro produzido no 4ºano(e apenas no 4ºano) foi de 2088.90€ e que a totalidade dos juros produzidos durante o processo foi de 9960,16€, determine:

a) O capital inicial;
b) A duração da operação;

Agradeço a ajuda com formulas correspondentes nesta questão.
obrigada

[Fraol]

Boa noite,

Vamos ver se desenferrujo um pouco sobre esse tema:

Sendo \(M_0\) o capital inicial, os montantes nos terceiros e quarto anos são respectivamente:
\(m_3 = M_0 ( 1+0,035)^3; m_4 = M_0 ( 1+0,035)^4\)

Os juros no quarto é a diferenção: \(M_4 - M_3 = M_0 ( 1+0,035)^3 \cdot 0,035 = 2088,90\)

Então fazendo as contas (e se não errei nelas) teremos: \(M_0 \sim 53.830,00\)

Analogamente, os juros totais é a diferença entre o montante após \(n\) anos e o capital inicial:

\(9960,16 = 53830 \cdot (1+ 0,035)^n - 53830\), terminando esta conta chega-se ao tempo total da operação.

[mathstuff]

Boa noite,

Vamos ver se desenferrujo um pouco sobre esse tema:

Sendo \(M_0\) o capital inicial, os montantes nos terceiros e quarto anos são respectivamente:
\(m_3 = M_0 ( 1+0,035)^3; m_4 = M_0 ( 1+0,035)^4\)

Os juros no quarto é a diferenção: \(M_4 - M_3 = M_0 ( 1+0,035)^3 \cdot 0,035 = 2088,90\)

Então fazendo as contas (e se não errei nelas) teremos: \(M_0 \sim 53.830,00\)

Analogamente, os juros totais é a diferença entre o montante após \(n\) anos e o capital inicial:

\(9960,16 = 53830 \cdot (1+ 0,035)^n - 53830\), terminando esta conta chega-se ao tempo total da operação.

Olá obrigada pela contribuição no meu tópico,só mais uma questão:
-se em vez de referir no "4 ano " se referisse ao 3º ano como ficaria?
e será possivel esclarecer como resolve a conta final mais detalhadamente?
Obrigada

[mathstuff]

Boa noite,

Vamos ver se desenferrujo um pouco sobre esse tema:

Sendo \(M_0\) o capital inicial, os montantes nos terceiros e quarto anos são respectivamente:
\(m_3 = M_0 ( 1+0,035)^3; m_4 = M_0 ( 1+0,035)^4\)

Os juros no quarto é a diferenção: \(M_4 - M_3 = M_0 ( 1+0,035)^3 \cdot 0,035 = 2088,90\)

Então fazendo as contas (e se não errei nelas) teremos: \(M_0 \sim 53.830,00\)

Analogamente, os juros totais é a diferença entre o montante após \(n\) anos e o capital inicial:

\(9960,16 = 53830 \cdot (1+ 0,035)^n - 53830\), terminando esta conta chega-se ao tempo total da operação.

Olá obrigada pela contribuição no meu tópico,só mais uma questão:
-se em vez de referir no "4 ano " se referisse ao 3º ano como ficaria?
e será possivel esclarecer como resolve a conta para chegar ao valor de 53.830 e tb a conta final mais detalhadamente?
Obrigada

[Fraol]

Oi,

Os juros no terceiro ano é a diferença entre o montante acumulado no 3o. anoe e o acumulado no 2o. ano:
\(J_3 = M_3 - M_2 = M_0 ( 1+0,035)^3 - M_0 ( 1+0,035)^2\)

Colocando o termo comum em evidência:
\(J_3 = M_0 ( 1+0,035)^2 \cdot ( 1+0,035 - 1)\), logo

\(J_3 = M_0 ( 1+0,035)^2 \cdot 0,035\). Basta substituir \(M_0\) para encontrar \(J_3\) e vice-versa.

[Fraol]

Quanto ao cálculo dos 53.830,00 é o seguinte:

Os juros no quarto ano é a diferença entre o montante neste ano e o montante no ano anterior:

\(J_4 = M_4 - M_3 = M_0 ( 1+0,035)^3 \cdot 0,035 = 2088,90\)

Agora calculando cada parte:

\(M_0 \cdot 1,108717875 \cdot 0,035 = 2088,90\)

\(M_0 \cdot 0,0388051256 = 2088,90\)

\(M_0 = \frac{2088,90}{0,0388051256}\), portanto \(M_0 = 53830,52\)

[Fraol]

Por fim,

\(9960,16 = 53830 \cdot (1+ 0,035)^n - 53830\), terminando esta conta chega-se ao tempo total da operação.

Fazendo passo a passo (usando o resultado anterior = 53830,52):

\(63790,68 = 53830,52 \cdot (1+ 0,035)^n\)

\((1+ 0,035)^n = \frac{63790,68}{53830,52}\)

\((1+ 0,035)^n = 1,1850281216\)

Aqui é necessário usar logaritmo para encontrar o expoente, certo?

\(log \left(1,035^n \right) = log \left( 1,1850281216 \right)\)

Usando a propriedade que nos permite levar o expoente do logaritmando para fora:

\({n} \cdot log \left(1,035 \right) = log \left( 1,1850281216 \right)\)

Continuando:

\({n} = \frac{ log \left( 1,1850281216 \right) } {log \left(1,035 \right)}\)

E aqui o jeito é usar uma calculadora (ou tábua de logaritmos):

\({n} = \frac{ 0,0737286566} { 0,01494034979 } \sim 4,93 \text{ anos }\)

[mathstuff]

Olá,agradeço imenso esta resposta...foi muito esclarecedor da sua parte...uma contribuição notável e de extrema importançia.
Obrigada

Por fim,

\(9960,16 = 53830 \cdot (1+ 0,035)^n - 53830\), terminando esta conta chega-se ao tempo total da operação.

Fazendo passo a passo (usando o resultado anterior = 53830,52):

\(63790,68 = 53830,52 \cdot (1+ 0,035)^n\)

\((1+ 0,035)^n = \frac{63790,68}{53830,52}\)

\((1+ 0,035)^n = 1,1850281216\)

Aqui é necessário usar logaritmo para encontrar o expoente, certo?

\(log \left(1,035^n \right) = log \left( 1,1850281216 \right)\)

Usando a propriedade que nos permite levar o expoente do logaritmando para fora:

\({n} \cdot log \left(1,035 \right) = log \left( 1,1850281216 \right)\)

Continuando:

\({n} = \frac{ log \left( 1,1850281216 \right) } {log \left(1,035 \right)}\)

E aqui o jeito é usar uma calculadora (ou tábua de logaritmos):

\({n} = \frac{ 0,0737286566} { 0,01494034979 } \sim 4,93 \text{ anos }\)