Matemática Financeira desconto composto real - parcelas iguais

[MatheusLiber]

Não estou conseguindo resolver esta questão:
A compra de um equipamento por uma indústria poderá ser feita por uma das duas opções seguintes: à vista por R$416000,00 ou em duas prestações anuais consecutivas de valores iguais, vencendo a primeira um ano após a data da compra. Considerando-se uma taxa de juros compostos de 8% ao ano e o critério do desconto composto real, tem-se que o valor de cada prestação referente à segunda opção que torna equivalentes, na data da compra, as duas opções é:
Resposta: R$23.328,00

Não entendi como as duas prestações podem ser iguais se a taxa de juros é composta. Não sei nem como começar a resolver esta questão.
Agradeço eternamente quem me ajudar a resolve-la.

[albersonmiranda]

Prezado,

O sistema de amortização (ex. SAC, PRICE) não possui relação com o método de capitalização (ex. simples, composto); o primeiro é definido arbitrariamente.
Há uma fórmula especifica para essa questão mas, como o enunciado cita apenas desconto real, podemos fazer assim:

\(PV=\frac{pmt}{(1+i)^1}+\frac{pmt}{(1+i)^2}\)

Consegue concluir daí?

[MatheusLiber]

Muitíssimo obg pela ajuda, amigo. Mas como chego a esta fórmula?
Desde já, agradeço pela atenção dada.

[MatheusLiber]

Tentei essa fórmula mas meu resultado deu 18.518,52

[albersonmiranda]

Isso é um fluxo de caixa descontado. O valor presente é o montante no período zero e cada termo no outro lado da igualdade representa uma parcela descontada sua taxa e período.

Deveria funcionar! Cola aí seu desenvolvimento pra gente ver o que deu errado.

[MatheusLiber]

Alberson, meu caminho foi esse:

41600 = Pmt/1,08 +Pmt/(1,08)²

41600 = Pmt/1,08 +Pmt/1,1664

41600 = 1,1664Pmt + 1,08Pmt

41600 = 2,2464Pmt

Pmt = 18518,52




Achei essa fórmula na wikipédia : Pmt = Pm.i/1-1/(1+i)n
e consegui chegar a resposta certa, essa fórmula realmente ta certa ou só deu certo dessa vez?
Forte abraço, agradeço pela atenção

[albersonmiranda]

Essa fórmula que você achou é a de séries de pagamento uniformes para capitalização composta (price). Seria o normal, mas o enunciado pediu desconto composto. Usar a fórmula do price estaria errado.

Sobre o resultado que você não está achando, o erro está naquela simplificação no lado direito da equação. Ao invés, tente multiplicar os dois lados da equação por \(1,08^2\). Assim você deve achar o resultado correto!

[MatheusLiber]

Muitíssimo obrigado, amigo! Consegui resolver.
Só gostaria de uma última informação sobre essa questão, como saberei quando usar esta fórmula que me apresentaste e a outra fórmula (price)?

[albersonmiranda]

Pelo enunciado! Nesse caso ele especificou que queria fórmula de desconto e colocou apenas duas parcelas para ficar humanamente possível calcular. Aí se em outro caso ele colocar umas 48 parcelas e não especificar nada, joga direto na fórmula do PRICE. De regra, sempre que falar em pagamentos iguais e sucessivos em capitalização composta você pode aplicar o PRICE, exceto se expressado o contrário.