Fórum de Matemática
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O orçamento da recepção de um casamento apresentou valor à vista de venda de R$ 60.000,00 e está sendo financiado em 24 parcelas mensais e iguais, sob o regime de taxa de juros compostos de 2% a.m., tendo o início de seus pagamentos após 3 meses do ato da assinatura do contrato do serviço de recepção, e também com entrada de R$ 10.000,00 Determine o valor das parcelas desse financiamento.

Gabarito: 2750

Entrada: R$60.000 - R$10.000 = R$50.000

R$50.000 = P / (1 + 0,02)^24
P = ~80.401 -> Desproporcional.

Alguma dica? Agradeço desde já...

Boa noite!

Dados:
Valor do casamento = 60.000,00
Entrada = 10.000,00
Saldo a financiar = 60.000-10.000 = 50.000
Parcelas = 24
Taxa = 2% a.m.
Primeira parcela : 3 meses após o ato da assinatura, ou seja, 2 meses de 'carência'.

Calculando:
\(PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-(n+k)}}{i}-\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-k}}{i}\right]
50\,000=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+2\%\right)^{-(24+2)}}{2\%}-\dfrac{1-\left(1+2\%\right)^{-2}}{2\%}\right]
50\,000=PMT\cdot\left(\dfrac{1-1,02^{-26}}{0,02}-\dfrac{1-1,02^{-2}}{0,02}\right)
PMT=\dfrac{50\,000\cdot 0,02}{1,02^{-2}-1,02^{-26}}
PMT\approx 2\,750,35\)

Outra forma:
\(PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right]\cdot\dfrac{1}{\left(1+i\right)^k}
50\,000=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+2\%\right)^{-24}}{2\%}\right]\cdot\dfrac{1}{\left(1+2\%\right)^2}
50\,000\cdot 1,02^2=PMT\cdot\left(\dfrac{1-1,02^{-24}}{0,02}\right)
PMT=\dfrac{50\,000\cdot 1,02^2\cdot 0,02}{1-1,02^{-24}}
PMT\approx 2\,750,35\)

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles

Só entendi a origem dessa sua fórmula. Obrigado por responder.

Na verdade, não entendi a origem dessa fórmula...

Boa noite!

Para calcular prestações:
Valor à vista : PV
Valor da prestação : PMT

Pagar primeira prestação no final do 1o. período (ao fim deste).

Então, façamos o seguinte: 'trazer' todas as prestações para a data zero, segundo a seguinte fórmula:
\(M=C(1+i)^n\)

Veja que nesta o montante (M) é o valor obtido após aplicar o capital (C) sob uma taxa de juros (i) por um período (n).
Se tivermos 'n' montantes, para trazê-los todos para a data inicial basta fazer a operação inversa (dividir). Portanto:
\(PV=\dfrac{PMT}{(1+i)^1}+\dfrac{PMT}{(1+i)^2}+\dfrac{PMT}{(1+i)^2}+\ldots+\dfrac{PMT}{(1+i)^n}
PV=\dfrac{PMT}{1+i}\cdot\dfrac{\left(\dfrac{1}{1+i}\right)^n-1}{\dfrac{1}{1+i}-1}
PV=\dfrac{PMT}{1+i}\cdot\dfrac{\dfrac{1-(1+i)^n}{(1+i)^n}}{\dfrac{1-(1+i)}{1+i}}
PV=PMT\cdot\dfrac{(1+i)^{-n}-1}{-i}
PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right]\)

Veja que esta fórmula serve para o caso onde a primeira prestação se encerra ao fim do primeiro período.
Para outros casos, como o exemplo citado, podemos 'levar' o valor à vista até o período anterior ao primeiro pagamento.
Então, caso o primeiro pagamento seja no mês k+1, podemos levar o PV até o mês k:
\(PV\cdot\left(1+i\right)^k=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right]
PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right]\cdot\dfrac{1}{\left(1+i\right)^k}\)

A outra fórmula vou deixar para vc pensar como chegaria nela (Pergunte se não conseguir que mostro )

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
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Então, façamos o seguinte: 'trazer' todas as prestações para a data zero, segundo a seguinte fórmula:
\(M=C(1+i)^n\)

\(C = \dfrac{M}{(1+i)^1}\) +...

Fique sem entender essa parte que você diz é só dividir:

\(PV=\dfrac{PMT}{1+i}\cdot\dfrac{\left(\dfrac{1}{1+i}\right)^n-1}{\dfrac{1}{1+i}-1}\)

De onde veio essa última parte da multiplicação? E porque tem -1?

Fico no aguardo. E mais uma vez obrigado...

Boa tarde!

Na linha do tempo financeira temos duas operações: uma é 'capitalizar' um valor para o futuro e o outro é 'descapitalizar' o valor futuro para uma data anterior.
Para capitalizar aumentamos os juros período após período.
\(M=C(1+i)^n\)

Essa expressão anterior nos entrega o valor M(montante) de um C(capital) aplicado em uma data qualquer, capitalizado por n períodos sob uma taxa i.
Então o valor M está no FUTURO e o valor C está o 'PASSADO', relativamente um ao outro, entendeu?
Por isso que disse que se quiser levar um valor C para o futuro, multiplicamos pelo fator \((1+i)^n\). Agora se for para descapitalizar este valor e trazê-lo ao passado, fazemos a operação inversa, que é dividir
Por isso:
\(C=\dfrac{M}{(1+i)^n}\)

Entendeu?

Bom, a última parte veio do estudo das progressões geométricas.
Uma progressão geométrica tem por termo geral o seguinte:
\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\)
Onde q é a razão da progressão.
Veja:
1,3,9,27,81...

É uma P.G de razão 3 e termo inicial 1, então:
\(a_n=1\cdot 3^{n-1}\\a_n=3^{n-1}\)

Já a soma dos termos de uma P.G. é dada pela fórmula:
\(S_n=a_1\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1}\)

Por isso desta última expressão.
O termo inicial: \(a_1=\dfrac{PMT}{1+i}\)
A razão: \(q=\dfrac{1}{1+i}\)
Daí substituí e fiz o algebrismo para encontrar a fórmula final, somente.

Espero ter ajudado!

Quaisquer dúvidas, pode perguntar! :D

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Baltuilhe
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