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Financiamento com entrada e primeiro pagamento com 3 meses https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=74&t=13103 |
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Autor: | kleyton [ 06 set 2017, 21:55 ] |
Título da Pergunta: | Financiamento com entrada e primeiro pagamento com 3 meses |
O orçamento da recepção de um casamento apresentou valor à vista de venda de R$ 60.000,00 e está sendo financiado em 24 parcelas mensais e iguais, sob o regime de taxa de juros compostos de 2% a.m., tendo o início de seus pagamentos após 3 meses do ato da assinatura do contrato do serviço de recepção, e também com entrada de R$ 10.000,00 Determine o valor das parcelas desse financiamento. Gabarito: 2750 Entrada: R$60.000 - R$10.000 = R$50.000 R$50.000 = P / (1 + 0,02)^24 P = ~80.401 -> Desproporcional. Alguma dica? Agradeço desde já... |
Autor: | Baltuilhe [ 07 set 2017, 04:29 ] |
Título da Pergunta: | Re: Financiamento com entrada e primeiro pagamento com 3 meses |
Boa noite! Dados: Valor do casamento = 60.000,00 Entrada = 10.000,00 Saldo a financiar = 60.000-10.000 = 50.000 Parcelas = 24 Taxa = 2% a.m. Primeira parcela : 3 meses após o ato da assinatura, ou seja, 2 meses de 'carência'. Calculando: \(PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-(n+k)}}{i}-\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-k}}{i}\right] 50\,000=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+2\%\right)^{-(24+2)}}{2\%}-\dfrac{1-\left(1+2\%\right)^{-2}}{2\%}\right] 50\,000=PMT\cdot\left(\dfrac{1-1,02^{-26}}{0,02}-\dfrac{1-1,02^{-2}}{0,02}\right) PMT=\dfrac{50\,000\cdot 0,02}{1,02^{-2}-1,02^{-26}} PMT\approx 2\,750,35\) Outra forma: \(PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right]\cdot\dfrac{1}{\left(1+i\right)^k} 50\,000=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+2\%\right)^{-24}}{2\%}\right]\cdot\dfrac{1}{\left(1+2\%\right)^2} 50\,000\cdot 1,02^2=PMT\cdot\left(\dfrac{1-1,02^{-24}}{0,02}\right) PMT=\dfrac{50\,000\cdot 1,02^2\cdot 0,02}{1-1,02^{-24}} PMT\approx 2\,750,35\) Espero ter ajudado! |
Autor: | kleyton [ 08 set 2017, 23:19 ] |
Título da Pergunta: | Re: Financiamento com entrada e primeiro pagamento com 3 meses |
Baltuilhe Escreveu: Boa noite! Dados: Valor do casamento = 60.000,00 Entrada = 10.000,00 Saldo a financiar = 60.000-10.000 = 50.000 Parcelas = 24 Taxa = 2% a.m. Primeira parcela : 3 meses após o ato da assinatura, ou seja, 2 meses de 'carência'. Calculando: \(PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-(n+k)}}{i}-\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-k}}{i}\right] 50\,000=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+2\%\right)^{-(24+2)}}{2\%}-\dfrac{1-\left(1+2\%\right)^{-2}}{2\%}\right] 50\,000=PMT\cdot\left(\dfrac{1-1,02^{-26}}{0,02}-\dfrac{1-1,02^{-2}}{0,02}\right) PMT=\dfrac{50\,000\cdot 0,02}{1,02^{-2}-1,02^{-26}} PMT\approx 2\,750,35\) Outra forma: \(PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right]\cdot\dfrac{1}{\left(1+i\right)^k} 50\,000=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+2\%\right)^{-24}}{2\%}\right]\cdot\dfrac{1}{\left(1+2\%\right)^2} 50\,000\cdot 1,02^2=PMT\cdot\left(\dfrac{1-1,02^{-24}}{0,02}\right) PMT=\dfrac{50\,000\cdot 1,02^2\cdot 0,02}{1-1,02^{-24}} PMT\approx 2\,750,35\) Espero ter ajudado! Só entendi a origem dessa sua fórmula. Obrigado por responder. |
Autor: | kleyton [ 09 set 2017, 00:29 ] |
Título da Pergunta: | Re: Financiamento com entrada e primeiro pagamento com 3 meses |
kleyton Escreveu: Baltuilhe Escreveu: Boa noite! Dados: Valor do casamento = 60.000,00 Entrada = 10.000,00 Saldo a financiar = 60.000-10.000 = 50.000 Parcelas = 24 Taxa = 2% a.m. Primeira parcela : 3 meses após o ato da assinatura, ou seja, 2 meses de 'carência'. Calculando: \(PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-(n+k)}}{i}-\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-k}}{i}\right] 50\,000=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+2\%\right)^{-(24+2)}}{2\%}-\dfrac{1-\left(1+2\%\right)^{-2}}{2\%}\right] 50\,000=PMT\cdot\left(\dfrac{1-1,02^{-26}}{0,02}-\dfrac{1-1,02^{-2}}{0,02}\right) PMT=\dfrac{50\,000\cdot 0,02}{1,02^{-2}-1,02^{-26}} PMT\approx 2\,750,35\) Outra forma: \(PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right]\cdot\dfrac{1}{\left(1+i\right)^k} 50\,000=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+2\%\right)^{-24}}{2\%}\right]\cdot\dfrac{1}{\left(1+2\%\right)^2} 50\,000\cdot 1,02^2=PMT\cdot\left(\dfrac{1-1,02^{-24}}{0,02}\right) PMT=\dfrac{50\,000\cdot 1,02^2\cdot 0,02}{1-1,02^{-24}} PMT\approx 2\,750,35\) Espero ter ajudado! Só entendi a origem dessa sua fórmula. Obrigado por responder. Na verdade, não entendi a origem dessa fórmula... |
Autor: | Baltuilhe [ 09 set 2017, 02:49 ] |
Título da Pergunta: | Re: Financiamento com entrada e primeiro pagamento com 3 meses |
Boa noite! Para calcular prestações: Valor à vista : PV Valor da prestação : PMT Pagar primeira prestação no final do 1o. período (ao fim deste). Então, façamos o seguinte: 'trazer' todas as prestações para a data zero, segundo a seguinte fórmula: \(M=C(1+i)^n\) Veja que nesta o montante (M) é o valor obtido após aplicar o capital (C) sob uma taxa de juros (i) por um período (n). Se tivermos 'n' montantes, para trazê-los todos para a data inicial basta fazer a operação inversa (dividir). Portanto: \(PV=\dfrac{PMT}{(1+i)^1}+\dfrac{PMT}{(1+i)^2}+\dfrac{PMT}{(1+i)^2}+\ldots+\dfrac{PMT}{(1+i)^n} PV=\dfrac{PMT}{1+i}\cdot\dfrac{\left(\dfrac{1}{1+i}\right)^n-1}{\dfrac{1}{1+i}-1} PV=\dfrac{PMT}{1+i}\cdot\dfrac{\dfrac{1-(1+i)^n}{(1+i)^n}}{\dfrac{1-(1+i)}{1+i}} PV=PMT\cdot\dfrac{(1+i)^{-n}-1}{-i} PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right]\) Veja que esta fórmula serve para o caso onde a primeira prestação se encerra ao fim do primeiro período. Para outros casos, como o exemplo citado, podemos 'levar' o valor à vista até o período anterior ao primeiro pagamento. Então, caso o primeiro pagamento seja no mês k+1, podemos levar o PV até o mês k: \(PV\cdot\left(1+i\right)^k=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right] PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right]\cdot\dfrac{1}{\left(1+i\right)^k}\) A outra fórmula vou deixar para vc pensar como chegaria nela (Pergunte se não conseguir que mostro ) Espero ter ajudado! |
Autor: | kleyton [ 09 set 2017, 19:04 ] |
Título da Pergunta: | Re: Financiamento com entrada e primeiro pagamento com 3 meses |
Baltuilhe Escreveu: Boa noite! Para calcular prestações: Valor à vista : PV Valor da prestação : PMT Pagar primeira prestação no final do 1o. período (ao fim deste). Então, façamos o seguinte: 'trazer' todas as prestações para a data zero, segundo a seguinte fórmula: \(M=C(1+i)^n\) Veja que nesta o montante (M) é o valor obtido após aplicar o capital (C) sob uma taxa de juros (i) por um período (n). Se tivermos 'n' montantes, para trazê-los todos para a data inicial basta fazer a operação inversa (dividir). Portanto: \(PV=\dfrac{PMT}{(1+i)^1}+\dfrac{PMT}{(1+i)^2}+\dfrac{PMT}{(1+i)^2}+\ldots+\dfrac{PMT}{(1+i)^n} PV=\dfrac{PMT}{1+i}\cdot\dfrac{\left(\dfrac{1}{1+i}\right)^n-1}{\dfrac{1}{1+i}-1} PV=\dfrac{PMT}{1+i}\cdot\dfrac{\dfrac{1-(1+i)^n}{(1+i)^n}}{\dfrac{1-(1+i)}{1+i}} PV=PMT\cdot\dfrac{(1+i)^{-n}-1}{-i} PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right]\) Veja que esta fórmula serve para o caso onde a primeira prestação se encerra ao fim do primeiro período. Para outros casos, como o exemplo citado, podemos 'levar' o valor à vista até o período anterior ao primeiro pagamento. Então, caso o primeiro pagamento seja no mês k+1, podemos levar o PV até o mês k: \(PV\cdot\left(1+i\right)^k=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right] PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right]\cdot\dfrac{1}{\left(1+i\right)^k}\) A outra fórmula vou deixar para vc pensar como chegaria nela (Pergunte se não conseguir que mostro ) Espero ter ajudado! Então, façamos o seguinte: 'trazer' todas as prestações para a data zero, segundo a seguinte fórmula: \(M=C(1+i)^n\) \(C = \dfrac{M}{(1+i)^1}\) +... Fique sem entender essa parte que você diz é só dividir: \(PV=\dfrac{PMT}{1+i}\cdot\dfrac{\left(\dfrac{1}{1+i}\right)^n-1}{\dfrac{1}{1+i}-1}\) De onde veio essa última parte da multiplicação? E porque tem -1? Fico no aguardo. E mais uma vez obrigado... |
Autor: | Baltuilhe [ 09 set 2017, 21:31 ] |
Título da Pergunta: | Re: Financiamento com entrada e primeiro pagamento com 3 meses |
Boa tarde! Na linha do tempo financeira temos duas operações: uma é 'capitalizar' um valor para o futuro e o outro é 'descapitalizar' o valor futuro para uma data anterior. Para capitalizar aumentamos os juros período após período. \(M=C(1+i)^n\) Essa expressão anterior nos entrega o valor M(montante) de um C(capital) aplicado em uma data qualquer, capitalizado por n períodos sob uma taxa i. Então o valor M está no FUTURO e o valor C está o 'PASSADO', relativamente um ao outro, entendeu? Por isso que disse que se quiser levar um valor C para o futuro, multiplicamos pelo fator \((1+i)^n\). Agora se for para descapitalizar este valor e trazê-lo ao passado, fazemos a operação inversa, que é dividir Por isso: \(C=\dfrac{M}{(1+i)^n}\) Entendeu? Bom, a última parte veio do estudo das progressões geométricas. Uma progressão geométrica tem por termo geral o seguinte: \(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\) Onde q é a razão da progressão. Veja: 1,3,9,27,81... É uma P.G de razão 3 e termo inicial 1, então: \(a_n=1\cdot 3^{n-1}\\a_n=3^{n-1}\) Já a soma dos termos de uma P.G. é dada pela fórmula: \(S_n=a_1\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1}\) Por isso desta última expressão. O termo inicial: \(a_1=\dfrac{PMT}{1+i}\) A razão: \(q=\dfrac{1}{1+i}\) Daí substituí e fiz o algebrismo para encontrar a fórmula final, somente. Espero ter ajudado! Quaisquer dúvidas, pode perguntar! :D |
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