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Taxa de juros de um investimento - Duas etapas
https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=74&t=13121		 Página 1 de 1
Autor:  kleyton [ 09 set 2017, 22:58 ]
Título da Pergunta:  Taxa de juros de um investimento - Duas etapas
Para pagar a entrada da compra de um veículo para seu filho que acabou obter um título de nível superior, um cliente de uma Instituição Bancária investiu mensalmente R$ 860,00 durante 15 meses, e o resultado do investimento foi de R$ 13.922,40.

Calcule a taxa de juros compostos desse investimento. (Inicie seus cálculos com a taxa de juros compostos de 1,20% a.m. e realize esses cálculos com quatro casas decimais)

Alternativas:

a) 0,18% a.m.
b) 8,10% a.m.
c) 8,01% a.m.
d) 1,08% a.m.
e) 1,80% a.m.

Parcela = R$860,00
t = 15 meses
Resultado (M) = R$13.922,40

O enunciado fala em 1,20% inicialmente. Isso me leva a crer que a resolução se dê em duas etapas. Porém, não vejo como iniciar a resolução. Confuso.
Agradeço desde já qualquer ajuda.
Autor:  kleyton [ 09 set 2017, 23:02 ]
Título da Pergunta:  Re: Taxa de juros de um investimento - Duas etapas
Se eu utilizar:

13922,40 = 860 * ( [(1/1+x)^-15]-1 ) / x

Encontro 0,0108 -> ~1,08%
Autor:  Baltuilhe [ 09 set 2017, 23:51 ]
Título da Pergunta:  Re: Taxa de juros de um investimento - Duas etapas
Boa noite!

Realmente o cálculo da taxa de juros é complicado neste caso.
A equação que chega na resposta será dada abaixo, após 'colher' os dados:
Depósito mensal : R$ 860,00
Período : 15 meses
Montante final : R$ 13.922,40

A fórmula:
\(FV=PMT\cdot\left[\dfrac{\left(1+i\right)^n-1}{i}\right]
13\,922,4=860\cdot\left[\dfrac{\left(1+i\right)^{15}-1}{i}\right]
13\,922,4i=860(1+i)^{15}-860
860(1+i)^{15}-13\,922,4i-860=0\)

Temos, então, que encontrar o valor para 'zerar' a equação acima. Podemos utilizar o processo de Newton-raphson.
\(\phi(x)=x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}\)

Chamando a equação anterior de f(i), teremos:
\(f(i)=860(1+i)^{15}-13\,922,4i-860
f'(i)=860\cdot 15\cdot (1+i)^{14}-13\,922,4\)

Agora temos a função de iteração:
\(\phi(i)=i-\dfrac{860(1+i)^{15}-13\,922,4i-860}{860\cdot 15\cdot (1+i)^{14}-13\,922,4}\)

Substituindo-se o valor inicial de 1,20% (que o exercício sugeriu), teremos, a cada etapa:
\(\begin{array}{c|c|c|c}
i&f(i)&f'(i)&\phi(i)\\
\hline
1,2000\%&1,435564&1322,229902&1,0914\%\\
1,0914\%&0,123722&1094,849035&1,0801\%\\
1,0801\%&0,001327&1071,364459&1,0800\%\\
1,0800\%&0,000000&1071,107192&1,0800\%
\end{matrix}\)

Chegamos, então, à taxa de 1,08%.

Não sei qual foi a forma que encontrou, mas essa é uma delas. Há outras (pode-se ser que mais fáceis), mas essa é minha predileta :)

Espero ter ajudado!
Autor:  kleyton [ 10 set 2017, 00:56 ]
Título da Pergunta:  Re: Taxa de juros de um investimento - Duas etapas
Baltuilhe Escreveu:
Boa noite!

Realmente o cálculo da taxa de juros é complicado neste caso.
A equação que chega na resposta será dada abaixo, após 'colher' os dados:
Depósito mensal : R$ 860,00
Período : 15 meses
Montante final : R$ 13.922,40

A fórmula:
\(FV=PMT\cdot\left[\dfrac{\left(1+i\right)^n-1}{i}\right]
13\,922,4=860\cdot\left[\dfrac{\left(1+i\right)^{15}-1}{i}\right]
13\,922,4i=860(1+i)^{15}-860
860(1+i)^{15}-13\,922,4i-860=0\)

Temos, então, que encontrar o valor para 'zerar' a equação acima. Podemos utilizar o processo de Newton-raphson.
\(\phi(x)=x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}\)

Chamando a equação anterior de f(i), teremos:
\(f(i)=860(1+i)^{15}-13\,922,4i-860
f'(i)=860\cdot 15\cdot (1+i)^{14}-13\,922,4\)

Agora temos a função de iteração:
\(\phi(i)=i-\dfrac{860(1+i)^{15}-13\,922,4i-860}{860\cdot 15\cdot (1+i)^{14}-13\,922,4}\)

Substituindo-se o valor inicial de 1,20% (que o exercício sugeriu), teremos, a cada etapa:
\(\begin{array}{c|c|c|c}
i&f(i)&f'(i)&\phi(i)\\
\hline
1,2000\%&1,435564&1322,229902&1,0914\%\\
1,0914\%&0,123722&1094,849035&1,0801\%\\
1,0801\%&0,001327&1071,364459&1,0800\%\\
1,0800\%&0,000000&1071,107192&1,0800\%
\end{matrix}\)

Chegamos, então, à taxa de 1,08%.

Não sei qual foi a forma que encontrou, mas essa é uma delas. Há outras (pode-se ser que mais fáceis), mas essa é minha predileta :)

Espero ter ajudado!


Rsrsr Muito avançado. Mas, vou ver com calma sua resolução. Muito obrigado!
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