Taxa de juros compostos de IPVA

[Ricardobrasil97]

Considere que o IPVA possa ser pago á vista com 3,5% de desconto ou a prazo em três parcelas mensais iguais, sem acréscimo, sendo a primeira no ato. Se o pagamento for feito a prazo, qual a taxa anual de juros compostos cobrada pelo governo.
Não consegui fazer. A resposta que o livro considera é : 54,15% a.a.

[Baltuilhe]

Boa tarde!

Vamos lá!
Dados:
Valor total IPVA: 3X
Valor a vista: tem desconto de 3,5%
\(3X(1-3,5\%)=3X(1-0,035)=3X(0,965)=2,895X\)
Valor a prazo: 3 parcelas de X (um terço do valor a vista)
Taxa de juros: i a.m. (taxa mensal)
Montando a equação:
\(2,895X{=}X+\dfrac{X}{1+i}+\dfrac{X}{(1+I)^2}
2,895X{=}X\left(1+\dfrac{1}{1+i}+\dfrac{1}{(1+i)^2}\right)
2,895-1{=}\dfrac{1}{1+i}+\dfrac{1}{(1+i)^2}
1,895(1+i)^2{=}(1+i)+1
y{=}1+i
1,895y^2-y-1{=}0
\Delta{=}(-1)^2-4(1,895)(-1)
\Delta{=}1+7,58
\Delta{=}8,58
y{=}\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{8,58}}{2(1,895)}
y{=}\dfrac{1\pm\sqrt{8,58}}{3,79}
y'{=}\dfrac{1+\sqrt{8,58}}{3,79}\approx 1,03671866
y''{=}\dfrac{1-\sqrt{8,58}}{3,79}\approx -0,50901417
1+i{=}1,03671866
i{=}0,03671866{=}3,671866\%\text{ a.m.}
(1+i_a){=}(1+i_m)^{12}
1+i_a{=}1,03671866^{12}{=}1,54145548
i_a{=}54,145548\%\text{ a.a.}\)

Espero ter ajudado!