Fórum de Matemática
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Uma cidade está analisando duas alternativas para geração de energia elétrica. A primeira delas consiste na
construção de uma barragem hidrelétrica com um investimento de $ 200 milhões e um custo anual de $ 2 milhões para
operação e manutenção. O tempo de vida da barragem é tão grande que pode ser considerado infinito. A segunda
alternativa consiste na geração de energia elétrica a partir de uma usina de gasogênio, cujo tempo de vida é de 20 anos.
O investimento inicial requerido çe de $ 40 milhões e o custo anual de operação e manutenção é de $ 6 milhões. A taxa
MAR real é de 5% aa. Compare e calcule o VPL da economia resultante. (Resp.: VPL economia = 55,81 milhões).

Bom dia!

Dados:
Barragem(A):
Investimento Inicial = 200 milhões
Custo anual = 2 milhões
Horizonte (tempo de vida) = infinito

Usina de gasogênio(B):
Investimento Inicial = 40 milhões
Custo anual = 6 milhões
Horizonte (tempo de vida) = 20 anos
Taxa = 5% a.a.

Calcularemos a VPL para cada projeto:
Fluxo de projeto A:
200.000.000 (inicial)
2.000.000 (anual)

\(VPL_A=200\,000\,000+\dfrac{2\,000\,000}{5\%}
VPL_A=200\,000\,000+
VPL_A=240\,000\,000\)

Fluxo de projeto B:
40.000,000 (inicial)
6.000.000 (anual)

Calculando a VPL para 20 anos:
\(VPL=40\,000\,000+6\,000\,000\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+5\%\right)^{-20}}{5\%}\right]
VPL=40\,000\,000+6\,000\,000\cdot\left(\dfrac{1-1,05^{-20}}{0,05}\right)
VPL\approx 114\,773\,262,06\)

Agora, não podemos esquecer que esse projeto dura somente 20 anos. Precisamos 'repetí-lo' a cada 20 anos para podermos comparar um projeto infinito a esse.
Para fazer essa conta, temos que calcular qual a taxa de 5% a.a. para o período de 20 anos, e calcular este valor na data zero, da mesma forma que o primeiro projeto.
Então:
\(1+i=(1+5\%)^{20}
1+i=1,05^{20}
i=1,05^{20}-1\approx 165,3298\%\)

Usando essa taxa:
\(VPL\approx 114\,773\,262,06+\dfrac{114\,773\,262,06}{165,3298\%}
VPL\approx 114\,773\,262,06+69\,420\,807,70
VPL\approx 184\,194\,069,76\)

Diferença:
\(240\,000\,000-184\,194\,069,76=55\,805\,930,24\approx 55,81\text{ milhoes}\)

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles