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MensagemEnviado: 06 fev 2018, 04:50 
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Um banco oferece um financiamento de R$ 180.000,00 para ser liquidado em 24 pagamentos mensais, podendo na amortização ser usado tanto o SAC, quanto o sistema Francês. O financiamento não prevê carência e a taxa de juros é de 6% ao mês. O tomador do empréstimo está em dúvida quanto ao sistema de amortização que deve escolher. Para tanto, necessita de informações adicionais com relação ao comportamento das parcelas de financiamento. Pede-se:

a) Em qual pagamento as parcelas das prestações se tornam iguais no SAC e no SAF
b) após o 12° pagamento, qual o percentual que o saldo devedor corresponde da dívida pelo SAC e pelo o sistema Francês


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MensagemEnviado: 06 fev 2018, 13:35 
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Bom dia!

Dados:
PV = R$ 180.000,00
n = 24 mensalidades
i = 6% a.m.

a)
Calculando a prestação no SAF (Sistema de Amortização Francês):
\(\displaystyle{ PV = PMT \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + i \right) ^ { -n } }{ i } \right] }\\\\
\displaystyle{ 180\,000 = PMT \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + 6\% \right) ^ { -24 } }{ 6\% } \right] }\\\\
\displaystyle{ 180\,000 = PMT \cdot \left( \dfrac{ 1 - 1,06 ^ { -24 } }{ 0,06 } \right) }\\\\
\displaystyle{ PMT = \dfrac{ 180\,000 \cdot 0,06 }{ 1 - 1,06 ^ { -24 } } }\\\\
\displaystyle{ \fbox{ PMT \approx 14\,342,22} }\)

Agora, a prestação no SAC (Sistema de Amortização Constante) é composta por uma parcela relativa à amortização e outra relativa aos juros.
Seria:
Sendo C o valor da dívida/financiamento, SD o saldo devedor, P a prestação, A a amortização, J a parcela de juros, n o número de prestações e k a prestação a ser calculada, temos:
\(A = \dfrac{ C }{ n }\\\\
SD_k = C - k \cdot A = C - k \cdot \dfrac{ C }{ n } = C \cdot \left( 1 - \dfrac{ k }{ n } \right)\\\\
P_k = A + J_k\\\\
P_k = \dfrac{ C }{ n } + i \cdot SD_{k-1}\\\\
P_k = \dfrac{ C }{ n } + i \cdot \left[ C \cdot \left( 1 - \dfrac{ k - 1 }{ n } \right) \right]\\\\
\fbox{ P_k = C \cdot \left( i + \dfrac{ 1 }{ n } \right) - i \cdot C \cdot \dfrac{ k - 1 }{ n } }\)

Neste exercício:
\(P_k = 180\,000 \cdot \left( 6\% + \dfrac{ 1 }{ 24 } \right) - 6\% \cdot 180\,000 \cdot \dfrac{ k - 1 }{ 24 }\\\\
P_k = 18\,300 - 450 \cdot \left( k - 1 \right)\)

Bom, como queremos saber em qual pagamento as parcelas se tornam 'iguais', teremos:
\(14\,342,22 {=} 18\,300 - 450 \cdot \left( k - 1 \right)\\\\
450 \cdot \left( k - 1 \right) {=} 18\,300 - 14\,342,22 {=} 3\,957,78\\\\
k {=} \dfrac{ 3\,957,78 }{ 450 } + 1\\\\
\fbox{ k \approx 10 }\)

b)
Após o 12º pagamento:
SAC:
\(SD = 180\,000 - \dfrac{ 180\,000 }{ 24 } \cdot 12\\\\
\fbox{ SD = 90\,000 }\)

Percentual:
\(\dfrac{ 90\,000 }{ 180\,000 } = 50,00\%\)

SAF:
\(SD = 14\,342,22 \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1+ 6\% \right) ^ { -12 } }{ 6\% } \right]\\\\
SD = 14\,342,22 \cdot \left( \dfrac{ 1 - 1,06 ^ { -12 } }{ 0,06 } \right)\\\\
\fbox{ SD \approx 120\,242,93 }\)

Percentual:
\(\dfrac{ 120\,242,93 }{ 180\,000 } = 66,80\%\)

Espero ter ajudado!

_________________
Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles


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