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Pergunta de Sistemas de Amortização Matemática Financeira https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=74&t=13608 |
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Autor: | Ricardo Urca [ 06 fev 2018, 04:50 ] |
Título da Pergunta: | Pergunta de Sistemas de Amortização Matemática Financeira |
Um banco oferece um financiamento de R$ 180.000,00 para ser liquidado em 24 pagamentos mensais, podendo na amortização ser usado tanto o SAC, quanto o sistema Francês. O financiamento não prevê carência e a taxa de juros é de 6% ao mês. O tomador do empréstimo está em dúvida quanto ao sistema de amortização que deve escolher. Para tanto, necessita de informações adicionais com relação ao comportamento das parcelas de financiamento. Pede-se: a) Em qual pagamento as parcelas das prestações se tornam iguais no SAC e no SAF b) após o 12° pagamento, qual o percentual que o saldo devedor corresponde da dívida pelo SAC e pelo o sistema Francês |
Autor: | Baltuilhe [ 06 fev 2018, 13:35 ] |
Título da Pergunta: | Re: Pergunta de Sistemas de Amortização Matemática Financeira [resolvida] |
Bom dia! Dados: PV = R$ 180.000,00 n = 24 mensalidades i = 6% a.m. a) Calculando a prestação no SAF (Sistema de Amortização Francês): \(\displaystyle{ PV = PMT \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + i \right) ^ { -n } }{ i } \right] }\\\\ \displaystyle{ 180\,000 = PMT \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + 6\% \right) ^ { -24 } }{ 6\% } \right] }\\\\ \displaystyle{ 180\,000 = PMT \cdot \left( \dfrac{ 1 - 1,06 ^ { -24 } }{ 0,06 } \right) }\\\\ \displaystyle{ PMT = \dfrac{ 180\,000 \cdot 0,06 }{ 1 - 1,06 ^ { -24 } } }\\\\ \displaystyle{ \fbox{ PMT \approx 14\,342,22} }\) Agora, a prestação no SAC (Sistema de Amortização Constante) é composta por uma parcela relativa à amortização e outra relativa aos juros. Seria: Sendo C o valor da dívida/financiamento, SD o saldo devedor, P a prestação, A a amortização, J a parcela de juros, n o número de prestações e k a prestação a ser calculada, temos: \(A = \dfrac{ C }{ n }\\\\ SD_k = C - k \cdot A = C - k \cdot \dfrac{ C }{ n } = C \cdot \left( 1 - \dfrac{ k }{ n } \right)\\\\ P_k = A + J_k\\\\ P_k = \dfrac{ C }{ n } + i \cdot SD_{k-1}\\\\ P_k = \dfrac{ C }{ n } + i \cdot \left[ C \cdot \left( 1 - \dfrac{ k - 1 }{ n } \right) \right]\\\\ \fbox{ P_k = C \cdot \left( i + \dfrac{ 1 }{ n } \right) - i \cdot C \cdot \dfrac{ k - 1 }{ n } }\) Neste exercício: \(P_k = 180\,000 \cdot \left( 6\% + \dfrac{ 1 }{ 24 } \right) - 6\% \cdot 180\,000 \cdot \dfrac{ k - 1 }{ 24 }\\\\ P_k = 18\,300 - 450 \cdot \left( k - 1 \right)\) Bom, como queremos saber em qual pagamento as parcelas se tornam 'iguais', teremos: \(14\,342,22 {=} 18\,300 - 450 \cdot \left( k - 1 \right)\\\\ 450 \cdot \left( k - 1 \right) {=} 18\,300 - 14\,342,22 {=} 3\,957,78\\\\ k {=} \dfrac{ 3\,957,78 }{ 450 } + 1\\\\ \fbox{ k \approx 10 }\) b) Após o 12º pagamento: SAC: \(SD = 180\,000 - \dfrac{ 180\,000 }{ 24 } \cdot 12\\\\ \fbox{ SD = 90\,000 }\) Percentual: \(\dfrac{ 90\,000 }{ 180\,000 } = 50,00\%\) SAF: \(SD = 14\,342,22 \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1+ 6\% \right) ^ { -12 } }{ 6\% } \right]\\\\ SD = 14\,342,22 \cdot \left( \dfrac{ 1 - 1,06 ^ { -12 } }{ 0,06 } \right)\\\\ \fbox{ SD \approx 120\,242,93 }\) Percentual: \(\dfrac{ 120\,242,93 }{ 180\,000 } = 66,80\%\) Espero ter ajudado! |
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