Matemática financeira modelo de renda antecipado e constante

[Souoo]

Uma pessoa resolve fazer uma poupança para comprar um carro, cujo valor a vista é de R$45.000,00. Sendo a taxa de juros de 0,7% a.m., o valor do deposito mensal é de R$586,87 e o modelo de renda antecipado e constante, qual o numero de depositos mensais a serem feitos?


Alguém?

[Baltuilhe]

Boa tarde!

Respondendo a questão:
PMT = 586,87
FV = 45.000,00
i = 0,7% a.m.
n = ? (antecipada)

\(FV=PMT\cdot\left[\frac{\left(1+i\right)^{n+1}-1}{i}-1\right]\\
45\,000=586,87\cdot\left[\frac{\left(1+0,7\%\right)^{n+1}-1}{0,7\%}-1\right]\\
\frac{45\,000}{586,87}=\frac{1,007^{n+1}-1}{0,007}-1\\
\frac{1,007^{n+1}-1}{0,007}=\frac{45\,000}{586,87}+1\\
1,007^{n+1}-1=0,007\cdot\left(\frac{45\,000}{586,87}+1\right)\\
1,007^{n+1}=0,007\cdot\left(\frac{45\,000}{586,87}+1\right)+1\\
n+1=\frac{\log\left[0,007\cdot\left(\frac{45\,000}{586,87}+1\right)+1\right]}{\log 1,007}\\
n=\frac{\log\left[0,007\cdot\left(\frac{45\,000}{586,87}+1\right)+1\right]}{\log 1,007}-1\\
n\approx 61,25\)

Portanto, n=62 depósitos antecipados, para obter um montante de:
\(FV=45\,681,51\)

Espero ter ajudado!

Dedução da fórmula:
Imagine n depósitos:
\(PMT\cdot (1+i)^n+PMT\cdot (1+i)^{n-1}+\cdots+PMT\cdot (1+i)=FV\\
PMT\cdot(1+i)\cdot\frac{(1+i)^n-1}{1+i-1}=FV\\
PMT\cdot(1+i)\cdot\frac{(1+i)^n-1}{i}=FV\\
PMT\cdot\frac{(1+i)^{n+1}-(1+i)}{i}=FV\\
PMT\cdot\left[\frac{(1+i)^{n+1}-1}{i}-1\right]=FV\)