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| Capital inicial e duração da operação https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=74&t=6492 |
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| Autor: | mathstuff [ 12 jul 2014, 17:34 ] |
| Título da Pergunta: | Capital inicial e duração da operação |
-Um certo capital esteve investido durante "x" anos vencendo juros compostos,á taxa de juro efectiva anual de 3,5%. Sabendo que o juro produzido no 4ºano(e apenas no 4ºano) foi de 2088.90€ e que a totalidade dos juros produzidos durante o processo foi de 9960,16€, determine: a) O capital inicial; b) A duração da operação; Agradeço a ajuda com formulas correspondentes nesta questão. obrigada |
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| Autor: | Fraol [ 12 jul 2014, 23:54 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Capital inicial e duração da operação |
Boa noite, Vamos ver se desenferrujo um pouco sobre esse tema: Sendo \(M_0\) o capital inicial, os montantes nos terceiros e quarto anos são respectivamente: \(m_3 = M_0 ( 1+0,035)^3; m_4 = M_0 ( 1+0,035)^4\) Os juros no quarto é a diferenção: \(M_4 - M_3 = M_0 ( 1+0,035)^3 \cdot 0,035 = 2088,90\) Então fazendo as contas (e se não errei nelas) teremos: \(M_0 \sim 53.830,00\) Analogamente, os juros totais é a diferença entre o montante após \(n\) anos e o capital inicial: \(9960,16 = 53830 \cdot (1+ 0,035)^n - 53830\), terminando esta conta chega-se ao tempo total da operação. |
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| Autor: | mathstuff [ 14 jul 2014, 13:01 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Capital inicial e duração da operação |
fraol Escreveu: Boa noite, Vamos ver se desenferrujo um pouco sobre esse tema: Sendo \(M_0\) o capital inicial, os montantes nos terceiros e quarto anos são respectivamente: \(m_3 = M_0 ( 1+0,035)^3; m_4 = M_0 ( 1+0,035)^4\) Os juros no quarto é a diferenção: \(M_4 - M_3 = M_0 ( 1+0,035)^3 \cdot 0,035 = 2088,90\) Então fazendo as contas (e se não errei nelas) teremos: \(M_0 \sim 53.830,00\) Analogamente, os juros totais é a diferença entre o montante após \(n\) anos e o capital inicial: \(9960,16 = 53830 \cdot (1+ 0,035)^n - 53830\), terminando esta conta chega-se ao tempo total da operação. Olá obrigada pela contribuição no meu tópico,só mais uma questão: -se em vez de referir no "4 ano " se referisse ao 3º ano como ficaria? e será possivel esclarecer como resolve a conta final mais detalhadamente? Obrigada |
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| Autor: | mathstuff [ 14 jul 2014, 13:08 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Capital inicial e duração da operação |
mathstuff Escreveu: fraol Escreveu: Boa noite, Vamos ver se desenferrujo um pouco sobre esse tema: Sendo \(M_0\) o capital inicial, os montantes nos terceiros e quarto anos são respectivamente: \(m_3 = M_0 ( 1+0,035)^3; m_4 = M_0 ( 1+0,035)^4\) Os juros no quarto é a diferenção: \(M_4 - M_3 = M_0 ( 1+0,035)^3 \cdot 0,035 = 2088,90\) Então fazendo as contas (e se não errei nelas) teremos: \(M_0 \sim 53.830,00\) Analogamente, os juros totais é a diferença entre o montante após \(n\) anos e o capital inicial: \(9960,16 = 53830 \cdot (1+ 0,035)^n - 53830\), terminando esta conta chega-se ao tempo total da operação. Olá obrigada pela contribuição no meu tópico,só mais uma questão: -se em vez de referir no "4 ano " se referisse ao 3º ano como ficaria? e será possivel esclarecer como resolve a conta para chegar ao valor de 53.830 e tb a conta final mais detalhadamente? Obrigada |
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| Autor: | Fraol [ 14 jul 2014, 23:52 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Capital inicial e duração da operação |
Oi, Os juros no terceiro ano é a diferença entre o montante acumulado no 3o. anoe e o acumulado no 2o. ano: \(J_3 = M_3 - M_2 = M_0 ( 1+0,035)^3 - M_0 ( 1+0,035)^2\) Colocando o termo comum em evidência: \(J_3 = M_0 ( 1+0,035)^2 \cdot ( 1+0,035 - 1)\), logo \(J_3 = M_0 ( 1+0,035)^2 \cdot 0,035\). Basta substituir \(M_0\) para encontrar \(J_3\) e vice-versa. |
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| Autor: | Fraol [ 15 jul 2014, 00:00 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Capital inicial e duração da operação |
Quanto ao cálculo dos 53.830,00 é o seguinte: Os juros no quarto ano é a diferença entre o montante neste ano e o montante no ano anterior: \(J_4 = M_4 - M_3 = M_0 ( 1+0,035)^3 \cdot 0,035 = 2088,90\) Agora calculando cada parte: \(M_0 \cdot 1,108717875 \cdot 0,035 = 2088,90\) \(M_0 \cdot 0,0388051256 = 2088,90\) \(M_0 = \frac{2088,90}{0,0388051256}\), portanto \(M_0 = 53830,52\) |
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| Autor: | Fraol [ 15 jul 2014, 00:14 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Capital inicial e duração da operação [resolvida] |
Por fim, \(9960,16 = 53830 \cdot (1+ 0,035)^n - 53830\), terminando esta conta chega-se ao tempo total da operação. Fazendo passo a passo (usando o resultado anterior = 53830,52): \(63790,68 = 53830,52 \cdot (1+ 0,035)^n\) \((1+ 0,035)^n = \frac{63790,68}{53830,52}\) \((1+ 0,035)^n = 1,1850281216\) Aqui é necessário usar logaritmo para encontrar o expoente, certo? \(log \left(1,035^n \right) = log \left( 1,1850281216 \right)\) Usando a propriedade que nos permite levar o expoente do logaritmando para fora: \({n} \cdot log \left(1,035 \right) = log \left( 1,1850281216 \right)\) Continuando: \({n} = \frac{ log \left( 1,1850281216 \right) } {log \left(1,035 \right)}\) E aqui o jeito é usar uma calculadora (ou tábua de logaritmos): \({n} = \frac{ 0,0737286566} { 0,01494034979 } \sim 4,93 \text{ anos }\) |
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| Autor: | mathstuff [ 15 jul 2014, 01:04 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Capital inicial e duração da operação |
Olá,agradeço imenso esta resposta...foi muito esclarecedor da sua parte...uma contribuição notável e de extrema importançia. Obrigada fraol Escreveu: Por fim,
\(9960,16 = 53830 \cdot (1+ 0,035)^n - 53830\), terminando esta conta chega-se ao tempo total da operação. Fazendo passo a passo (usando o resultado anterior = 53830,52): \(63790,68 = 53830,52 \cdot (1+ 0,035)^n\) \((1+ 0,035)^n = \frac{63790,68}{53830,52}\) \((1+ 0,035)^n = 1,1850281216\) Aqui é necessário usar logaritmo para encontrar o expoente, certo? \(log \left(1,035^n \right) = log \left( 1,1850281216 \right)\) Usando a propriedade que nos permite levar o expoente do logaritmando para fora: \({n} \cdot log \left(1,035 \right) = log \left( 1,1850281216 \right)\) Continuando: \({n} = \frac{ log \left( 1,1850281216 \right) } {log \left(1,035 \right)}\) E aqui o jeito é usar uma calculadora (ou tábua de logaritmos): \({n} = \frac{ 0,0737286566} { 0,01494034979 } \sim 4,93 \text{ anos }\) |
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