Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Derive a função:

f(x) = (x² - 3x⁴)³ . (2x + 3)²

Aplicando a Regra da Cadeia: \(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}\)

(x² - 3x⁴)³ → dy= u³ / dx= x² - 3x⁴
\(\frac{dy}{dx}=(3u^{2}).(2x-12x^{3})\)

(2x + 3)² → dy= u² / dx= 2x + 3
\(\frac{dy}{dx}=2u.(2)\)

Aplicando a Regra do Produto: u . v = u' . v + v' . u
f(x) = (x² - 3x⁴)³ . (2x + 3)²
f'(x)= (3u²)(2x-12x³) . (2x+3)² + (2u)(2) . (x²+3x⁴)³
Consegui fazer até aqui e não sei terminar...

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GABRIELA AMARAL

Estudando mais adiante, descobri que na Regra da Cadeia, a fórmula \(f(x)=n\cdot f(x)^{n-1} \ \cdot \ f'(x)\) pode ajudar a ser menos complicada, ficando assim:

f(x) = (x² - 3x⁴)³ . (2x + 3)²

f'(x) = (x² - 3x⁴)³
f'(x) = 3(x² - 3x⁴)².(2x-12x³)
f'(x) = (6x-36x³).(x²-3x⁴)
Minha dúvida é se devo aplicar a distributiva aqui, ficando assim:
f'(x) = 6x³ - 18x⁵ - 36x⁵ + 108x⁷
f'(x) = 6x³ - 54x⁵ + 108x⁷ = onde u'

f'(x) = (2x + 3)²
f'(x) = 2(2x+3).2
f'(x) = 4(2x+3)
Minha dúvida é se devo aplicar a distributiva aqui, ficando assim:
f'(x) = 8x + 12 = onde = v'

Aplicando a regra do produto: u . v = u' . v + v' . u
f(x) = (x² - 3x⁴)³ . (2x + 3)²
f'(x) = (6x-54x⁵+108x⁷).(2x+3)² + (8x+12).(x² - 3x⁴)³
Como continuar daqui com os expoentes em destaque vermelho?

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GABRIELA AMARAL