Fórum de Matemática
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um bebedouro será construído na forma de um prisma reto cuja altura mede 7 m e cujas bases são trapézios. cada trapézio tem base menor e laterais de medidas sempre iguais a 1 m. se x representa a medida, em radianos, do ângulo entre uma lateral e uma altura de cada um dos dois trapézios congruentes usados na construção do bebedouro, quanto deve ser x para que a forma do bebedouro correspondente tenha o maior volume v possível?

O bebedouro com maior volume corresponde ao trapézio com maior área (o volume do bebedouro é a área do trapézio multiplicada por 7). Já a área do trapézio vai ser dada pela fórmula (verifique!) \(A(x)=\cos x + \sin x \cos x\). Consegue prosseguir?

seria melhor no desenho, mas aqui é mais trabalhoso desenhar !!!

sendo as bases menores e as laterais dos trapézios igual a 1 e altura do prisma igual a 7, temos que as bases maiores podem ser encontradas por pitagoras, já que a base maior seria B=(x-1)+1+(x-1) ou seja, a base menor + laterais

assim temos, em relação as laterais do trapézio e a altura do prisma:

1²=(x-1)²+7²
x²-2x-48=0
x=8
concluindo então, que o triângulo reto formado nas laterais do trapézio é isósceles, ou seja, (x-1) = 7
dessa forma,
concluimos que o angulo formado é de
45^o ou \(\pi /4\) rad

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Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.

No meu post anterior errei a expressão da área... na verdade \(A(x)=1+\sin x \cos x\).

A resposta é de facto \(x=\pi/4\) mas devo dizer que não percebi o raciocínio do Jorge. A ideia é que podemos formar um prisma, qualquer que seja o valor de x, mas obtemos prismas de volumes diferentes. Temos é que escolher o valor de x que conduz ao maior volume. O Jorge parece calcular univocamente um valor para x, o que não é possível.

Boa noite!

Sobolev, pra mim a sua equação \(A(x)=\cos{x}+\sin{x}\cdot\cos{x}\) está correta e a resposta para o volume máximo estaria em \(x=\frac{\pi}{6}\).
Concordas?

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles

Boa noite Baltuilhe,

Sim, a minha equação inicial está correcta e o valor óptimo é \(\pi/6\).

Meus amigos Sobolev e Baltuilhe, perdão, meu raciocínio realmente, está equivocado, pois o triângulo formado nos trapézios é obtusângulo isósceles de lados 1m, e os angulos congruentes podem ser obtidos pela Lei dos senos, uma vez que este triângulo pode estar inscrito numa circunferência de raio igual 1m. Assim, temos:
1/sen x = 2r
sen x = 1/2
logo,
x = 30^o ou \(\pi /6\)

este triângulo formado nos trapézios de altura h é semelhante ao triangulo formado pelo prisma de altura 7m em relação a sua base. Conclui-se então, que o angulo x é o máximo permitido para o preenchimento do bebedouro.

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Boa tarde Jorge,

Continuo a não perceber a sua resolução. Está a concluir que \(\pi/6\) seria o único ângulo possível? É que isso não é verdade... Se escolher \(x=\pi/3\) ou qualquer outro valor entre 0 e \(\pi/2\) ontem sempre bebedouros admissíveis. Se não é esta a sua linha de raciocionio, como decide que esse ângulo corresponde realmente ao maior volume?

Sobolev,
Diante das medidas apresentadas, angulo formado pelas bases do trapézio é de 30^o, pela Lei dos senos, não existe outra forma de verificar isso. Diminuindo/aumentando o valor do angulo você diminui/aumenta o volume de agua, todavia, se aumentar o angulo a agua transbordará.

Se tiver outra solução onde o autor do problema possa compreender, eu vou te agradecer junto com ele.

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Agora percebi o que quer dizer... Acho que levou a ilustração demasiado à letra. Imagine o prisma sem nenhuma água dentro, ao inclinar as laterais vai obter prismas com volumes diferentes. Na minha opinião a questão é apenas identificar qual o ângulo (ou qual o prisma) que permite armazenar mais água. De resto os dados do problema não permitem identificar especificamente o ângulo, a medida da base e das laterais (todas iguais a 1) não permite definir a forma do trapézio.